Von Newton zur Quantenmechanik....



Isaac Newton (1643-1727) hat 1687 ganz klar eine Mechanik für Orte entwickelt: Er hat Gleichungen aufgestellt, mit denen man den Ort eines Objekts zu beliebigen Zeiten berechnen kann.

Geschwindigkeit und Impuls waren für ihn abgeleitete Größen: Die Geschwindigkeit berechnet man aus Ortsunterschieden und den Impuls berechnet man, in dem man die Geschwindigkeit noch mit der Masse multipliziert.


William Rowan Hamilton (1805-1865) hat 1843 die Mechanik anders aufgebaut: Für ihn sind Ort und Geschwindigkeit gleichberechtigte Größen, nur beide gemeinsam legen den Zustand eines mechanischen Systems fest.

In unserem Alltag ist das nicht so: Wir nennen den Raum aller möglichen Orte einfach Raum. Das ist der Raum, in dem wir leben.


Auch der Raum aller möglichen Impulse ist dreidimensional. In diesem Impulsraum leben wir aber nicht, wir erfahren ihn als ein abstraktes Konzept.

Und noch problematischer wird es beim Phasenraum: 3 Ortskoordinaten und drei Impulskoordinaten bilden den sechsdimensionalen Phasenraum.


Das linke Bild zeigt die Phasenraum-Trajektorie einer ungedämpften Schwingung, Immer wieder kehren die Wertepaare aus (x,p) zurück. Es bildet sich eine geschlossene Linie.

In Richtung des Pfeiles gilt: Die Auslenkung x geht zurück, der Impuls p strebt dem Maximalwert zu.

Rechts wird die Dämpfung hinzugenommen: Durch Energieverluste reduzieren sich bei jeder Schwingung Geschwindigkeit (Impuls) und Auslenkung. Die Trajektorie zieht sich auf einen Punkt zusammen.


Warum ist unser normaler Raum, in dem wir leben, für uns so begreifbar, so anschaulich?


Das liegt daran, dass im Raum sich nur dann Wechselwirkungen auswirken, wenn die Objekte unmittelbar miteinander verbunden sind, einen Kontakt haben, sich mit endlicher Geschwindigkeit gegenseitig erreichen und beeinflussen können. Das entspricht unserer Erfahrung der Welt: Es gibt keine spukhaften Fernwirkungen, keine Sofort-Übertragungen, alles spielt sich nacheinander und nebeneinander ab. Wir erfahren die Welt als lokal, als in kleine, miteinander gekoppelte Raumbereiche aufgeteilt, aber für sich irgendwie abgeschlossen wirkend. Alles, was passiert, passiert nacheinander und nebeneinander, nie spontan überall:


Unser Raum ist lokal. Zwei Objekte können nicht den gleichen Ort einnehmen, sie beeinflussen sich nur in ihrer Nähe. Es gibt keine instantanen Wirkungen, die überall gleichzeitig stattfinden.


Der Impulsraum ist nicht lokal: selbstverständlich können zwei Objekte den gleichen Impuls haben, aber wehe sie begegnen sich an einem Ort. Also: Im Impulsraum gibt es gleiche Impulse für verschiedene Objekte, im Ortsraum keine gleichen Orte für verschiedene Objekte.

Und im Phasenraum ist es auch eher ungewohnt: Eine Bahn ist keine räumliche Bahn, sondern eine sechsdimensionale Darstellung einer Zustandsentwicklung. Man nennt sie Trajektorie. Trajektorien sind keine „echten“ Bahnen, denn im Phasenraum gibt es keine uns bekannten Bewegungen.

Zwei Trajektorien können sich nie kreuzen, aber durchaus beliebig annähern.


Wie macht nun die Quantenmechanik das?


Also erst einmal werden Ort und Impuls als vollkommen gleichberechtigte Größen behandelt. Das hat sie sich bei Hamilton abgeschaut. Und in der Tat, hilft die Hamiltonsche Formulierung der klassischen Mechanik entsprechende quantenmechanische Gleichungen aufzustellen.

Dann besteht die Quantenwelt, wer hätte es anders gedacht, aus Quanten. Es gibt keine Analogie dazu in der Newtonschen Mechanik. Es ist nicht möglich, die Quantenmechanik durch die Newtonsche Mechanik zu verstehen. Wir haben in unserer klassischen Welt keine Begriffe und Analogien, die wir für ein Verständnis verwenden könnten.

Aber wir können alle quantenmechanischen Phänomene, das Verhalten der Quanten, erklären. Erklären heißt, sie durch Gleichungen und Formeln erfassen und berechnen. Eine wichtige Größe ist dabei der berühmte Hamilton-Operator, eine Rechenanweisung, mit der man Energiemesswerte bestimmen kann und die zeitliche Entwicklung von Zuständen beschreiben kann.


Ein wichtiger Punkt dabei ist die Verwendung der klassischen Begriffe Welle und Teilchen:

Zur Beschreibung des Verhaltens von Quanten benötigen wir Wellen, zur Erfassung von Quanten durch Beobachtungen dagegen Teilchen. Das bedeutet nicht, dass wir die Frage stellen dürfen, ob Quanten Wellen oder Teilchen sind. Sie sind weder das eine noch das andere. Wellen und Teilchen sind Hilfsmittel unserer Anschauung, unserer Newtonschen Physik, mit denen wir manche Aspekte der Quanten beschreiben können.


Die sog, quantenmechanischen Wellen sind zudem keine Wellen in unserem Raum. Sie bewegen sich durch den Hilbertraum, das ist ein gedankliches Gebilde möglicher Zustände, die aber alle durch komplexe Zahlen beschrieben werden müssen. Diese Zahlen kann man nicht anordnen, sie sind also nicht geeignet einen erfahrbaren Raum zu beschreiben. Man kennt sie als Zahlen, die auch Vielfache von i = √(-1) beinhalten, sogenannte imaginären Zahlen.


Vollkommen gleichberechtigt kann man die Quantenmechanik aufbauen, in dem man jedem Ort eine solche komplexe Zahl als Auslenkung der quantenmechanischen Welle zuordnet.

Das ist eine Ortsdarstellung.


Es geht aber auch so, dass man jedem Impuls eine komplexe Zahl als Auslenkung einer Welle zuordnet. Das ist die Impulsdarstellung.


Beide Darstellungen lassen sich mathematisch durch eine sog. Fouriertransformation ineinander überführen.

Dabei entsteht ganz automatisch die Unbestimmtheitsbeziehung von Werner Heisenberg, die er vor fast 90 Jahren auf Helgoland erdacht hat:

Ein genau bekannter Ort in der Ortsdarstellung führt zu einem weniger bekannten Impuls in der Impulsdarstellung und umgekehrt.

Im Bild ist eine Wellendarstellung (Wellenpaket in Form einer Gaußkurve) des Ortes angegeben (blau), die Breite entspricht der Ortsunbestimmtheit. Die grüne Kurve ist die Fouriertransformierte, das ist die Impulsdarstellung. Macht man die blaue Kurve breiter, so wird die grüne Kurve enger. Die beiden Breiten sind umgekehrt zueinander proportional. Genau das drückt die Unbestimmtheitsbeziehung von Heisenberg aus.



Ort und Impuls verhalten sich also komplementär: Man kann immer nur eine der beiden Größen genau kennen und bestimmen.

Das ist immer noch eine vollkommende Gleichberechtigung zwischen Ort und Impuls. Aber Ort und Impuls sind komplementär: Ein quantenmechanisches Objekt kann nicht gleichzeitig durch Ort und Impuls beschrieben werden. Trotzdem sind Ort und Impuls gleichberechtigte Größen.


Mathematisch heißt das: ∆x * ∆p = h/2π, wobei h = 6,6*10-34 Js die kleinste mögliche Wirkung ist (Planck’sches Wirkungsquantum).


Was ich besonders faszinierend finde: Eine der seltsamsten Eigenschaften der Natur, die Unbestimmtheit zwischen Ort und Impuls, ergibt sich als Folge einer mathematischen Transformation zwischen verschiedenen Beschreibungen der Welt.


Noch ein Wort zur Fouriertransformation:

Wenn wir einen Klang in sein Frequenzspektrum zerlegen, dann machen wir genau eine solche Fouriertransformation. Die Rechnung probiert einfach aus, wie groß der Anteil aller möglichen Sinusschwingungen an einem vorliegenden Klang ist.

Frequenzspektrum (Fouriertransformation, unten) einer Rechteckschwingung (oben) (wikipedia common)

Wir sehen, dass nur die ungeradzahligen Vielfachen (3-fach, 5-fach, 7-fach usw) der Grundfrequenz von 500 Hz vorkommen. Die Grundfrequenz liefert auch die Grundfrequenz der Rechteckschwingung.


Unser Körper hat auch ein eigenes Organ für Fouriertransformationen

Im Ohr wird der Schall durch die Härchen im Gehörgang in einzelne Frequenzen zerlegt. Das Gehirn kennt die Frequenz durch den Ort des Härchens und die Amplitude durch die Stärke der Schwingung. Dadurch setzt das Gehirn das Tonerlebnis zusammen. Es rekonstruiert dabei Töne, die es gar nicht gibt, wie z.B. die tiefen Töne eines Klaviers. Die entstehen nicht im Klavier, die entstehen in unserem Gehirn.


Fassen wir zusammen:

Die Quantenmechanik ist nicht lokal: es gibt keine nur lokal wirkenden Mechanismen. Die quantenmechanische Welle ist ausgebreitet und an vielen Stellen des Raumes vorhanden. So erklärt man die sog. Verschränkung von Quanten: Die Messung eines Zustandes an einem Quant an einem bestimmten Ort legt den Zustand des verschränkten Quants an einem anderen Ort spontan fest. Auch wenn wir diese Orte als weit getrennt wahrnehmen.

Ganz konkret: Zwinge ich ein Elektron hier auf der Erde sich linksherum zu drehen, dann wird ein verschränktes Elektron auf dem Pluto im gleichen Moment sich rechts herum drehen. Die räumliche Trennung der beiden Elektronen (Erde, Pluto) existiert nur in unserem Kopf, aber wohl nicht in der Realität. Sie sind nichtlokal miteinander verschränkt.

Raum ist somit scheinbar in der Quantenmechanik eine sekundäre Größe, die aus den Verschränkungen der Quanten entstehen könnte.


Seltsamerweise hat auch Newton eine nichtlokale Wirkung der Gravitation annehmen müssen.

Das führt uns zum zweiten Teil:

Von Newton zur Allgemeinen Relativitätstheorie