Von Newton zur Kosmologie
Newtons Gravitationstheorie lässt viele Aussagen über den Kosmos als Ganzes zu.
Aber historisch gesehen, war es die Allgemeine Relativitätstheorie ART von Albert Einstein, die auf den Kosmos bezogen wurde:
Unter dem Standardmodell der Kosmologie verstehen wir ein Universum, dessen Entwicklung durch die ART beschrieben wird. Als Grundannahmen gehen ein:
- Der Kosmos ist auf große Abstände bezogen homogen (Kein Raumpunkt ist vor einem anderen ausgezeichnet)
- Der Kosmos ist, ebenfalls auf große Abstände bezogen, isotrop (keine Raumrichtung ist vor einer anderen ausgezeichnet).
Durch diese Voraussetzungen beschreibt die ART einen maximal symmetrischen Kosmos.
Dazu muss man die Koordinaten in der Raum-Zeit durch Längenangaben ergänzen. Das nennt man eine Metrik. Für das Standardmodell der Kosmologie wird die Robertson-Walker-Metrik benutzt. Sie bestimmt Längenabstände durch den Skalenfaktor R(t).
Das ist wie bei Hausnummern einer Straße. Aus den Hausnummern können wir nur die Reihenfolge der Anordnungen bestimmen, nicht aber ihre Abstände. Dazu müssen wir eine Metrik einführen: Wie weit sind zwei Häuser mit benachbarten Hausnummern voneinander entfernt. Da wir einen maximal symmetrischen Kosmos beschreiben wollen, nehmen wir an, dass alle Häuser gleichweit von ihren Nachbarn entfernt sind. Wir lassen nur zu, dass die Straße immer länger wird und die Häuser mitwandern….
Kennt man die zeitliche Entwicklung des Skalenfaktors R(t), so lässt sich die Dynamik des Kosmos beschreiben.
Dazu wird in der Regel das Gleichungssystem der Einsteinschen Feldgleichung gelöst.
Damit das geht, muss man bestimmte Annahmen für die Energien und Impulse der Objekte des Kosmos (Galaxien werden dabei wie Staubteilchen behandelt) machen, d.h. den Energie-Impulstensor Tμυ vereinfachen.
Dann kommt man zu den Friedmanngleichungen und daraus lässt sich die zeitliche Entwicklung des Kosmos bestimmen.
Hört sich kompliziert an…
Ist es auch…
Einstein hat die Feldgleichungen 1915 aufgestellt, 1922 hat der russische Mathematiker Alexander Friedmann sie im eben beschriebenen Sinn gelöst und diese nach ihm benannten Friedmann-Gleichungen gefunden.
Das hat aber niemand interessiert, denn ein dynamisches, sich veränderndes Universum konnte sich damals keiner vorstellen, auch Einstein nicht..
1927 wurden Friedmanns Ideen von Georges Lemaitre wieder entdeckt. Aber das interessierte auch kaum jemand…
Erst als Hubble 1929 die Expansion des Kosmos entdeckt hat, wurden die Arbeiten von Friedmann und LeMaitre richtig eingeschätzt.
Da war Friedmann aber schon tot. Er starb sehr jung an Typhus.
Aber zu diesen Grundgleichungen der Kosmologie kommt man auch gut ohne ART, nur über die Newtonsche Mechanik:
1. Friedmann-Gleichung:
Wir nehmen an, dass der Urknall einen Schwung erzeugt, der durch die Eigengravitation der Galaxien abgebremst wird.
Wir beschreiben dann Abstände durch r(t) = R(t) * ∆s, wobei ∆s der Koordinatenabstand ist („Hausnummernunterschied“).
Dann erhalten wir für die Expansionsgeschwindigkeit
v(t) = dr/dt = dR/dt*∆s = dR/dt * r/R = H *r
Ausführlich geschrieben: v(t) = H(t) * r(t)
Dabei ist H(t) die zeitlich veränderliche Hubble-Zahl und die letzte Gleichung ist das berühmte Hubblesche Expansionsgesetz.
Nun verteilen wir die Galaxien wie Staubkörner in eine Kugel mit dem Radius r(t) und bestimmen kinetische und potenzielle Energie einer am Rand sitzenden Galaxie (dazu brauchen wir die Newtonsche Gravitationstheorie).
Wir nehmen an, dass die Gesamtenergie konstant ist, d.h. die Eigengravitation der Galaxien in der Kugel den Urknallschwung ausgleicht.
Dann können wir die zeitliche Ableitung der Gesamtenergie gleich 0 setzen und erhalten nach wenigen Rechenschritten die 1. Friedmann-Gleichung.
Die erste Friedmann-Gleichung ist also letztlich eine Umwandlung des Gravitationsgesetzes von Newton.
Die zeitliche Entwicklung nennen wir eine parabolische Expansion (beschrieben durch k = 0). Der Urschwung ist erst in unendlich langer Zeit ausgeglichen, die Expansion geht ewig.
Nun verallgemeinern wir: Unsere Kugel kann auch eine wachsende (k = -1, hyperbolische Expansion, die nie zum Stillstand kommt)) oder eine fallende Gesamtenergie (k = +1, elliptische Expansion, der Kosmos steht irgendwann still und kontrahiert wieder) besitzen.
2. Friedmann-Gleichung:
Um alle Angaben des Kosmos berechnen zu können, benötigt man noch eine zweite Gleichung:
Wir untersuchen die Gravitationsbeschleunigung an der Kugeloberfläche mit Hilfe der Newtonschen Gleichung F = m*a, wobei F dann wieder die Gravitationskraft auf unsere Galaxie am Kugelrand ist.
Durch geschicktes Umformen und Einbeziehen der 1.Friedmann-Gleichung kommt man dann zur 2. Friedmann-Gleichung.
Diese ist nichts anderes als F = m*a auf kompliziert…..
In den Friedmann-Gleichungen kommt keine Raumkrümmung vor. Berechnet man mögliche Raumkrümmungen mit Hilfe der ART, so erhält man auch wieder nur 3 Fälle.
Das liegt an der Forderung der maximal möglichen Symmetrie des Kosmos.
k kann deshalb auch nur die Werte -1, 0 und +1 annehmen.
Zu jeder Expansionsform ergibt sich dann eine bestimmte Raumform:
k=0: Die parabolische Expansion besitzt den euklidischen, ungekrümmten Raum.
k= -1: Die hyperbolische Expansion besitzt den negativ gekrümmten Raum.
k = +1: Die elliptische Expansion besitzt den positiv gekrümmten, in sich geschlossenen Raum.
