Post 9: Gruppen und Symmetrien

In dem Titelbild dieses Blogs (credit: R.Kahn in wikipedia commons) sind verschiedene geometrische Figuren zu sehen und ihre Symmetrieachsen.


Das gleichseitige Dreieck oben links besitzt drei Symmetrieachsen. An jeder von ihnen kann ich das Dreieck spiegeln und ich erhalte wieder die gleiche Figur, lediglich die Namen der Eckpunkte sind verändert.

Da kommen wir noch zu. Das wird uns zu Permutationsgruppen führen.

Statt zu spiegeln, kann ich auch das Dreieck um 180° drehen und es so in sich überführen.

Ganz entsprechend ist das beim Quadrat oben rechts. Entweder kann ich an den eingezeichneten Achsen spiegeln oder das Quadrat um 90° oder Vielfache davon drehen, um es bezogen auf die Figur in sich selbst überzuführen.


Ein Objekt ist symmetrisch, wenn ich etwas mit ihm machen kann, ohne es dabei von der Art her zu verändern.

Ich habe es absichtlich so allgemein formuliert, da es auch Symmetrien gibt, die nicht unmittelbar geometrisch sichtbar sind. Sie spielen in der Elementarteilchenphysik eine große Rolle.


Aber bleiben wir erst einmal bei den Symmetrien vom gleichseitigen Dreieck und vom Quadrat, das nichtquadratische Rechteck kommt auch noch dazu.


Um eine Symmetrie zu überprüfen, muss ich also etwas mit der Figur machen, beim Dreieck sie z.B. um 120° drehen.

Wir drehen jeweils um den Mittelpunkt des Dreiecks.

So eine Drehoperation werden wir mit D180 bezeichnen.

D180 führt das Dreieck in sich über. Das gilt auch für D0 (um 0° drehen) und D240 (um 240° drehen).

D17 ist keine Symmetrieoperation, die zählt hier nicht...D360 bedeutet letztlich D0.

Entsprechend gilt: D450 = D90 usw...

Beim gleichseitgen Dreieck gibt es also genau drei Symmetrieoperationen unter den Drehungen: D0, D120 und D240.

Die wollen wir zu einer Menge zusammenfassen: D = {D0, D120, D240}. Innerhalb dieser Menge können wir alle Drehungen hintereinander ausführen und landen wieder bei einer der drei "Grunddrehungen".


Das schreit nach einer Gruppenstruktur...


Ganz spannend: Gruppen und Symmetrien haben etwas miteinadner zu tun. Das liefert einige der tiefsinnigsten Einblicke in den Aufbau unserer Welt.


Beschreiben wir erst einmal genauer, was wir unter einer Verknüpfung in der Menge D verstehen wollen:

D120 # D240 = D360 = D0

Das Zeichen # bedeutet also "hintereinander ausführen": Wenn ich erst um 120° und dann um 240° drehe, dann habe ich insgesamt um 0° gedreht.

Wir wollen nun die erste Drehung senkrecht und die zweite Drehung waagerecht in eine Tabelle eintragen. Dann stehen an den Kreuzungsfeldern die Ergebnisdrehungen.


Versucht das mal selbst...


Ihr müsstet ein solches Bild bekommen:





So eine Darstellung nennen wir eine Verknüpfungstafel der Symmetriedrehungen eines gleichseitigen Dreiecks.

Seht ihr dieser Tafel an, dass (D,#) eine Gruppe bildet?

Was ist das Neutralelement?

Welche Elemente sind zueinander invers?

Ist das eine abelsche Gruppe?


In den nächsten Posts werden wir die Symmetriegruppen von Quadraten und Rechtecken kennenlernen, die Kleinsche Vierergruppe und daran lernen, wie man endliche Gruppen klassifizieren kann. Dazu müssen wir noch Permutationsgruppen einführen und uns mit der Isomorphie beschäftigen.






Februar 2021

Mit rechtzeitigem Nachdenken und wissenschaftlicher Orientierung kann man Probleme bewältigen und einen sicheren Weg aus der Krise finden.

Impressum

Über mich