Differenzialgleichungen kann man nutzen um Bewegungen zu beschreiben, Strömungen, Biegungen, aber auch um Modelle zu entwickeln. Ganz oft sind sie nicht lösbar und man muss Näherungsmethoden anwenden um die Lösungsfunktionen zu finden.
Oft ist aber auch klar, mit welchen Funktionen eine Lösung möglich ist. Dann kann man sie erraten und ihre Richtigkeit zeigen.
Fangen wir einmal mit einer sehr bekannten Anwendung an. Wir beschreiben den Zerfall eines radioaktiven Präparates.
Was haben wir da?
In einem Haufen von Atomen sind zum Zeitpunkt t =0 genau No radioaktive Atome. Diese zerfallen (was da physikalisch passiert ,interessiert nicht), d.h. nach einer gewissen Zeit sind weniger radioaktive Atome vorhanden. Sagen wir es sind N(t) noch nicht zerfallene Atome zum späteren Zeitpunkt t vorhanden.
Nun zerfallen zum Zeitpunkt t innerhalb des Zeitraumes dt weitere dN Atome.
Zwei einfache Proportionalitäten sind klar:
dN ~ dt: je länger der Zeitraum, desto mehr kann zerfallen
dN ~ N(t): je mehr da ist, desto mehr kann zerfallen
Das kann man zu einer Proportionalität zusammenfassen:
dN ~ N(t) * dt
Durch Einfügen einer Proportionalitätskonstante k (oft wird auch der griechische Buchstabe Lambda benutzt) wird daraus eine Gleichung. Man muss nur berücksichtigen, dass die Anzahl ja abnimmt, es muss also auch ein Minuszeichen dazu:
dN = - k * N(t) * dt
Das ist unsere erste Gleichung mit Differenzialen, unsere erste Differenzialgleichung.
Es ist auch üblich sie anders zu schreiben:
dN/dt = - k * N(t)
Die erste Ableitung nach der Zeit der Funktion N(t), die wir ja suchen, ist proportional zu N(t) selbst. k nennt man auch Zerfallskonstante.
Wie lösen wir diese DGL?
Naja, jedes Kind kennt ja den Begriff der Halbwertszeit HWZ Thwz!
Nach dieser Zeit ist die Hälfte der vorhandenen Substanz zerfallen, also No geht auf N(Thwz) = No/2 zurück. Nach einer weiteren HWZ ist das auf ein Viertel zurückgegangen und so weiter...
Das ermöglicht uns die Lösungsfunktion zu erraten:
N(t) = No * (1/2)^(t/Thwz).
Exponentieller Zerfall (wikipedia common)
Ich denke, alles ist einfacher zu lesen, wenn ich das aufschreibe und als Bild einfüge:
Nun müssen wir überprüfen, ob unser Raten sinnvoll war...
Dazu müssen wir die Ableitung dN/dt nach der Zeit bilden (das wird durch einen Punkt markiert).
Viele kennen die e-Funktion, da ist die Funktion selbst ihre Ableitung:
[exp(x)]`= exp(x).
Hier bei der Basis 1/2 ist auch die Funktion proportional zu ihrer Ableitung, wir müssen aber noch den Faktor ln(1/2) = ln 1 - ln 2 = - ln2 einfügen.
Das erkläre ich gleich in einem weiteren Exkurs-Post.
Die Ableitungsfunktion und die Funktion selbst setzen wir nun in unsere geratene DGL ein...
Man könnte sagen: Wir kürzen, was zu kürzen ist...ja das geht, denn N(t) ist nie 0...
Wir können aber auch sagen, dass diese Gleichung für alle Zeiten t nur erfüllt ist, wenn die Konstante k die angegebene Bedingung erfüllt:
k = ln 2 /Thwz.
Damit haben wir nicht nur unsere DGL gelöst, wir wissen nun auch, dass unsere eingeführte Proportionalitätskonstante k (man nennt sie hier die Zerfallskonstante) letztlich der Kehrwert der Halbwertszeit ist (bis auf den Faktor ln 2).
Den exakten Kehrwert der Halbwertszeit nennt man auch mittlere Lebensdauer des radioaktivien Präparats.
Alles in allem eine sehr ungewohnte Art eine Gleichung zu lösen...aber es ist ja auch eine DGL....
Übung:
a) Das Kohlenstoffisotop C14 zerfällt in N14 mit einer Halbwertszeit von 5740 Jahren.
In einer Probe sind noch 25% der ursprünglichen Menge an C14. Wann wurde die Probe zum letzten Mal mit C14 aufgefüllt?
b) Ein radioaktives Präparat aus 10 Milliarden Atomen sendet 1000 Strahlungsteilchen durch radioaktiven Zerfall pro Sekunde aus. Wie groß ist die Halbwertszeit?
Wie geht es weiter?
Ersteinmal erkläre ich in einem Exkurs wie man die Funktion a^x ableitet. Dann gibt es die Lösungen der beiden Aufgaben und dann beschreiben wir die Radioaktivität mit Hilfe der Exponentialfunktion exp(x) und lernen eine Methode kennen, wie man die DGL ohne Raten direkt lösen kann.
Dann lassen wir keine Atome zerfallen, sondern Kondensatoren sich entladen....