Post 8: Körper

Vollständigkeitshalber soll auch der Begriff des Körpers als algebraische Struktur wenigstens erwähnt werden.

Es fällt auf, dass z.B. (R,+) und (R\{0},*) beides Gruppen sind, in denen sogar das Kommutativgesetz gilt.

Die beiden Verknüpfungen Addition und Multiplikation können auch zusammen auftreten. Das nennt man Ausklammern und Klammer auflösen..., auch Distributivgesetze genannt.

Die beiden Strukturen mit diesen Eigenschaften kann man auch zusammenfassen:

(R,t,*) bildet einen (algebraischen) Körper.


Definition eines Körpers:

Eine Menge K bildet einen sog. Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (Rechenarten) auf dieser Menge gibt.

Wir bezeichnen dann die Struktur mit (K, +, *).

Dabei müssen folgende Bedingungen erfüllt werden:


1) (K,t) bildet eine abelsche Gruppe (Gruppe mit Kommutativgesetz).


- Sind zwei Elelemente a, b in K, so ist auch a+b in K (Abgeschlossenheit). Man nennt a+b die Summe von a und b

- a+b = b+a (Kommutativität)

- a +(b+c) = (a+b)+c (Assoziativität)

- Es gibt ein Element 0, das nichts macht: a+0 = a (Neutrales Element bezügl. +)

- Zu jeder Zahl gibt es eine Gegenzahl: a + (-a) = 0


2) (K\{0}, *) bildet auch eine abelsche Gruppe


- Das Produkt a*b ist in K\{0}

- a*b = b*a

- a*(b*c) = a*(b*c)

- Es gibt ein Element 1, das Nichts macht: a*1 = a (neutrales Element bezügl. *)

- Zu jeder Zahl a gibt es eine Gegenzahl 1/a, s.d. a* 1/a = 1

(Jetzt wird klar, warum für die zweite Verknüpfung die 0 rausgenommen wird)


3) Es gelten die Distributivgesetze:

a*(b+c) = a*b + a*c

(a+b)*c = a*c + b*c


Die reellen Zahlen bilden bezügl. der Addition und der Multiplikation einen Körper.


Also:

In der Schule lernt man Rechnen im Körper der reellen Zahlen!


Damit wollen wir es auch belassen...und uns nun interessanteren Gruppenbeispielen zuwenden.

März 2021

Wird eine dritte Welle kommen?

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