Post 9: Einschub: Ableitung von Exponentialfunktionen

Klar, man kann das in einer Formelsammlung nachsehen...aber trotzdem ist es sinnvoll sich in Erinnerung zu rufen, wie man die Ableitung von a^x bestimmt.

Achtung: f(x) = x^n wird wie gewohnt zuf`(x) = n*x^(n-1) abgeleitet, da die Variable ja als Basis auftaucht.

Diese Regeln gelten aber nicht, wenn die Variable im Exponenten steht.

Wir wissen ja: Für f(x) = 2^x erhält man die Ableitung f`(x) = ln 2 * 2^x

Bei allen Exponentialfunktionen ist die Steigung also immer proportional zum Funktionswert. Aber nur bei der Basis e = 2,718...., der Basis des natürlichen Logarithmus ln, ist die Ableitung identisch mit dem Funktionswert, denn ln e = 1.

Es gibt sozusagen dann einen gemeinsamen Graph für Funktion und Ableitungsfunktion.

Das zeigt sehr schön die Abbildung:

Wir vergleichen die Graphen von f(x) = 2^x und ihrer Ableitung mit dem Graphen von f(x) = exp(x) = e^x


Man kann sich gut vorstellen, dass sich alle drei Kurven immer mehr angleichen, wenn die Basis auf 2,718...zuläuft.

Noch deutlicher wird das, wenn man auf der y-Achse nicht den Funktionswert, sondern den Logarithmus davon aufträgt. Dann müssen die Graphen Geraden sein.

Der Graph von f(x) = 2^x hat die gleiche Steigung wie die zugehörige Ableitungsfunktion. Da aber beim Logarithmieren aus dem Produkt von ln 2 und 2^x eine Summe wird, ist bei der logarithmischen Auftragung die Gerade parallel verschoben.



Die zu e^x = exp(x) gehörende Gerade besitzt eine andere Steigung.

(Man beachte die Skalierung der y-Achse, die nicht bei 0 beginnt).



Nun können wir die schon benutzte Formel gut herleiten.

Wie gesagt für den Workshop nicht wichtig, aber nicht schlecht zu wissen...


Man muss mehrere Gesetze anwenden:

(1) Potenzieren einer Potenz bedeutet multiplizieren der Hochzahlen.

(2) Beim Ableiten einer zusammengesetzten Funktion (im Exponenten steht eine Funktion) muss die Kettenregel angewendet werden: Innere Ableitung * Äußere Ableitung

( 3) In den Exponenten erheben und logarithmieren heben sich auf.

(4) Die Ableitung von e^x ist e^x (das ist die Definition der Basis e).


Nun kann man in wenigen Schritten die Ableitung von a^x bestimmen



Im nächsten Post kommen die Lösungen der beiden Übungsaufgaben.