Klar, man kann das in einer Formelsammlung nachsehen...aber trotzdem ist es sinnvoll sich in Erinnerung zu rufen, wie man die Ableitung von a^x bestimmt.
Achtung: f(x) = x^n wird wie gewohnt zuf`(x) = n*x^(n-1) abgeleitet, da die Variable ja als Basis auftaucht.
Diese Regeln gelten aber nicht, wenn die Variable im Exponenten steht.
Wir wissen ja: Für f(x) = 2^x erhält man die Ableitung f`(x) = ln 2 * 2^x
Bei allen Exponentialfunktionen ist die Steigung also immer proportional zum Funktionswert. Aber nur bei der Basis e = 2,718...., der Basis des natürlichen Logarithmus ln, ist die Ableitung identisch mit dem Funktionswert, denn ln e = 1.
Es gibt sozusagen dann einen gemeinsamen Graph für Funktion und Ableitungsfunktion.
Das zeigt sehr schön die Abbildung:
Wir vergleichen die Graphen von f(x) = 2^x und ihrer Ableitung mit dem Graphen von f(x) = exp(x) = e^x
Man kann sich gut vorstellen, dass sich alle drei Kurven immer mehr angleichen, wenn die Basis auf 2,718...zuläuft.
Noch deutlicher wird das, wenn man auf der y-Achse nicht den Funktionswert, sondern den Logarithmus davon aufträgt. Dann müssen die Graphen Geraden sein.
Der Graph von f(x) = 2^x hat die gleiche Steigung wie die zugehörige Ableitungsfunktion. Da aber beim Logarithmieren aus dem Produkt von ln 2 und 2^x eine Summe wird, ist bei der logarithmischen Auftragung die Gerade parallel verschoben.
Die zu e^x = exp(x) gehörende Gerade besitzt eine andere Steigung.
(Man beachte die Skalierung der y-Achse, die nicht bei 0 beginnt).
Nun können wir die schon benutzte Formel gut herleiten.
Wie gesagt für den Workshop nicht wichtig, aber nicht schlecht zu wissen...
Man muss mehrere Gesetze anwenden:
(1) Potenzieren einer Potenz bedeutet multiplizieren der Hochzahlen.
(2) Beim Ableiten einer zusammengesetzten Funktion (im Exponenten steht eine Funktion) muss die Kettenregel angewendet werden: Innere Ableitung * Äußere Ableitung
( 3) In den Exponenten erheben und logarithmieren heben sich auf.
(4) Die Ableitung von e^x ist e^x (das ist die Definition der Basis e).
Nun kann man in wenigen Schritten die Ableitung von a^x bestimmen
Im nächsten Post kommen die Lösungen der beiden Übungsaufgaben.