Ich will erst einmal die Lösungen posten.
(1) (Z,+)
Ist eine Gruppe, 0 ist Neutralelement, -a das zu a inverse Element, die anderen Axiome (Abgeschlossenheit: ganze Zahl + ganze Zahl = ganze Zahl, Assoziativgesetz) sind eher trivial.
(2) (Q,+)
Gruppe
(3) (N,+)
keine Gruppe, das mögliche Neutralelement 0 liegt nicht in N und keine natürliche Zahl hat ein Inverses aus N
(4) (Q+,*)
Ist eine Gruppe, 1 ist Neutralelement, und der Kehrwert eines Bruches ist bezügl der Multipliklation das Inverse.
(5) (Q\{0},*)
Ist auch eine Gruppe, die negativen rationalen Zahlen haben genau so Kehrwerte...nur die 0 muss man rausnehmen, denn die hat keinen Kehrwert...
Hier kann man auch sehr schön mit Gleichungen argumentieren: a*x = b ist nicht mehr eindeutig lösbar, wenn a=b=0 ist (0*5 =0 aber 0*6 =0) und unlösbar, wenn a=0 und b=6 ist
(6) (No,+)
Keine Gruppe, das Hinzunehmen des Neutralelementes 0 brignt kein Inverses bezüglich der Addition....
(7) (N,*)
Keine Gruppe, 1 als Neutralelement ist da, aber 1/n als Inverse nicht...
(8) (R,+)
Ist eine Gruppe
(9) (R+,*)
Ist eine Gruppe
(10) (Z,*)
Ist keine Gruppe, Inverse fehlen
(11) (Q,*)
Ist keine Gruppe, weil die 0 keinen Kehrwert hat
(12) (R\{0},*)
Ist eine Gruppe, da die 0 ausgeschlossen ist
(13) (R,*)
Ist keine Gruppe, da die 0 keinen Kehrwert hat