Nun gehen wir in eine Dimension. Unser Vektor hat nur noch eine Komponente, ist also einfach eine Zahl x.
Ein einkomponentiger Vektor ist ein Skalar (Zahl).
Die Linearform dx gibt dann an der Zahl x eine Änderung dx an. Diese Änderung dx kann man als Basis interpretieren, d.h. andere Änderungen über dx errechnen.
Das wird an einem einfach Beispiel deutlich:
Wir haben einen Stab, der an einer Seite erwärmt wird und sich dann längs der x-Richtung abkühlt.
Wir bestimmen eine Temperaturabnahme von z.B. 10°/cm. Das ist unsere Linearform/Differenzialform.
Wir haben gelernt: Linearformen sind Abbildungen, die Vektoren eine Zahl zuordnen.
Was ist hier unser Vektor?
Das ist der Ort x irgendwo auf dem Stab. Wir nehmen x = 3 cm.
Nun können wir die zugeordnete Zahl ausrechnen: Linearform * Vektor ist das zugehörige Skalarprodukt.
In unserme Beispiel ist das 10°/cm * 3 cm = 30°
30° ist die Zahl, die die vorliegende Temperaturabnahme am Ort x = 3 cm beschreibt.
Das Skalarprodukt aus Linearform °/cm mit Vektor cm liefert also letztlich die Temperatur am Vektor x.
Was wir gemacht haben, kann man auch durch diese Formel ausdrücken:
dT/dx * dx = dT,
dabei ist dx die Basis der Linearformen, dT/dx ein Vorfaktor und dT eine andere Linearform.
Ich kann natürlich viele dieser Linearformen aufaddieren, und auch dafür gibt es eine symbolische Schreibweise für das Addieren der Linearform dT/dx * dx (man achte auf den Malpunkt!):
Veranschaulichung von Linearformen:
Vektoren veranschaulichen wir durch Pfeile. Linearformen kann man durch Stapel mit bestimmten Abständen veranschaulichen.
Das möchte ich hier aber nicht vertiefen.
Ergänzungen:
- Differnezialformen als spezielle Linearformen sind sog. "antisymmetrische Tensoren", d.h. bei ihrer Anwendung kommt es auf die Reihenfolge an: dx dy = - dy dx.
- Damit ergibt sich dx dx = 0
- Ein totales Differenzial ist eine Differenzialform, deren Koeffizienten in der Basisdarstellung partielle Ableitungen sind.
Die Ergänzungen werden wir nicht brauchen, sie stellen vielleicht für die ein oder anderen eine Verbindung zu schon bekannten Inhalten her.
So, im nächsten Post stellen wir nun unsere erste DGL auf und lösen sie...genug der Theorie....