Wir wollen nun Differenzialformen in der Ebene angeben. Dann übertragen wir das auf eine Dimension und haben unser dx...
Vektorielle Beschreibung der Ebene, Übergang zu Linearformen
Das veranschaulicht der folgende Graph:
Anmerkungen und Ergänzungen
Hierzu muss ich noch einige Anmerkungen machen:
Wieso ist df(x,y) eine Linearform/Differenzialform?
Die Funktion f(x,y) ordnet dem Vektor, der vom Urspung ausgehend im Punkt (x,y) endet, eine reelle Zahl zu. Das machen alle Linearformen.
Nun zoomen wir ganz dicht an diesem Punkt des Funktionsgraphen heran und zeichnen die Tangente. Ihr Steigungsdreieck besteht aus den Katheten dx und dy, die Hypotenuse ist df.
Das muss eine Linearform/Differenzialform sein, denn die Summe aus Linear/Differenzialformen ist wieder eine Linear/Differenzialform (so wie die Summe zweier Vektoren wieder ein Vektor ist, nur sind wir hier im Dualraum...da gelten aber gleiche Regeln).
Und: Wir haben eben mit den dx und den dy ganz normal gerechnet...es sind ja Zahlen...
Einen Hinweis für Fortgeschrittene will ich noch geben:
So, das alles brauchen wir nicht mehr...aber für einige, die diesen Blog lesen, ist es bestimmt interessant...vor allem wenn wieder Gradienten als Vektoren bezeichnet werden..
Noch einen Post als Zusatzfutter...
Wir haben eben ja Linearformen im Zweidimensionalen behandelt...nun möchte ich noch kurz das alles auf eine Dimension reduzieren..
Spätestens dann sollte klar geworden sein: Die dx sind keine Symbole unter dem Integralzeichen, sondern Rechengrößen...
und deshalb rechnen wir mit ihnen beim Lösen von DGL....
Noch ein Post, dann ist es soweit...dann wird es auch wieder weniger abstrakt und wir lösen nur noch DGLs...versprochen...