Post 5: Logischerweise nur ein neutrales Element und: Aus Summen kürzen nie die Dummen

Updated: Jan 20

Bervor wir zu Beispielen und Anwendungen kommen, möchte ich noch mal etwas mathematisieren...


Satz:

In einer Gruppe (G,#) ist das neutrale Element eindeutig bestimmt.


Erläuterung:

Es muss ein neutrales Element (wie die 0 beim Addieren oder die 1 beim Multiplizieren) geben, sonst wäre es ja keine Gruppe...aber es gibt auch nur eins....

Beweis:

Wir nehmen an, die Gruppe (G,#) hat zwei neutrale Elemente n und m.

Dann gilt für jedes beliebige Element g der Gruppe:

(1) g#g' = g'#g = n, weil n neutrales Element ist und das Inverse g' zu g eindeutig bestimmt ist.

(2) g#g' = g'#g = m

Daraus folgt: n = m q.e.d


In diesem Post möchte ich noch die Kürzungsregel vorstellen.

Klar, ihr kennt das Kürzen:

Bei einem Bruch werden Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl geteilt: 15/9 = 5/3.

Viele von euch sagen sehr zum Unmut der Mathelehrer/innen auch zu folgendem Vorgang kürzen:


4x + 8 = 16 | :4

ergibt x +2 = 4


In der Tat ist es eher üblich auch das Dividieren auf beiden Seiten einer Gleichung "kürzen" zu nennen.

Wir können es auch auf die Spitze treiben:

Auch das Subtrahieren auf beiden Seiten einer Gleichung heißt "kürzen":

x + 5 = y + 5 | -5

ergibt x = y


Was steht da allgemein hinter?

Die Kürzungsregeln für Gruppen...und bei den Gruppen kommt es nicht auf die Verknüpfung an...es muss nur eine Gruppe vorliegen...und (Z,+) ist eine Gruppe...


Kürzungsregel:

Ist (G,#) eine Gruppe und sind a,b und c Elemente aus G, so gilt:

Aus a # b = c # b folgt a = c


Beweis:

Da eine Gruppe vorliegt, ist mit b auch das Inverse b' in der Gruppe (bei Zahlen kann das je nach Gruppe 1/b oder -b sein).

Wir verknüpfen nun die beiden Seiten der vorausgesetzten Gleichung a # b = c # b mit dem Inversen b' von b. In welcher Reihenfolge wir das machen, spielt keine Rolle, denn in einer Gruppe gilt ja das Assoziativgesetz. Und verknüpfen dürfen wir, da ja jede Verknüpfung auf ein Gruppenelement führt.


Wir erhalten:


a # b # b' = c # b # b'

Daraus folgt, da b # b' = n (neutrales Element) ist:

a # n = c # n

und daraus, weil eben n das neutrale Element ist:

a = c q.e.d.


So, genug mathematisiert...jetzt gehts mit den nächsten Posts in die Praxis und Anwendung.





Februar 2021

Mit rechtzeitigem Nachdenken und wissenschaftlicher Orientierung kann man Probleme bewältigen und einen sicheren Weg aus der Krise finden.

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