Post 5: Exkurs Differenzialformen I

Die nächsten Posts sind für das Anwenden von DGL nicht notwendig, erläutern aber den Hintergrund, unter dem man die Größen dx sehen sollte.

Dazu gehen wir erst einmal auf einige allgemeine Begriffsbildungen ein:


Dualraum und Skalarprodukt


Ich merke schon, der Exkurs wird länger...aber man kann ihn getrost überspringen...


Ich will mal ganz konkret für ein KS (rot) das duale KS (schwarz) zeichnen. Der Vektor (blau) ist real und gilt somit für beide KS.

Würden die beiden roten KS-Achsen senkrecht aufeinander stehen, dann würden die schwarzen KS-Achsen auf ihnen liegen und beide KS wären identisch.



So, jetzt können wir sagen (definieren), was eine Linearform ist:

Wenn wir einen Vekor haben, dann gibt es zu diesem Vektor eine im Dualraum existierende Linearform. Das ist eine lineare Abbildung, die den Vekor auf das Skalarprodukt mit "seiner" Linearform abbildet, also dem Vektor eine reelle Zahl zuordnet. Die Zahl sozusagen, mit der man ihm eine von KS unabhängige Länge zuordnen kann.

Der normale Raum enthält also Vektoren, der Dualraum Abbildungen dieser Vektoren in die reellen Zahlen.


Und dieser Raum-Zeit-Abstand x² - c²*t² ist immer gleich, unabhängig von welchem Bezugssystem (KS) aus ich das beobachte.


Wie gesagt, für kartesische KS in der Schulmathematik braucht man all das nicht, da ist das Quadrat der Länge eines Vektors auch durch den Pythagoras-Satz gegeben.....aber um die Welt da draußen mathematisch zu beschreiben, muss man das so machen...Das nennt man Tensorrechnung. Vektoren und Linearformen sind Tensoren.

Einsteins Aufstellen der Allgemeinen Relativitätstheorie war die zehnjährige Suche nach geeigneten Tensoren und Dualräumen.


Linearformen sind also wie Maschinen, in die man Vektoren reinsteckt und eine reelle Zahl erhält, die diesem reingesteckten Vektor über genau diese eine Maschine zugeordnet werden kann. Eine andere Linearform ist eine andere Maschine, sie kann dem gleichen Vektor eine andere Zahl zuordnen.



Im nächsten (und letzten) Teil des Exkurses werde ich nun sagen, was das mit den Differenzialformen zu tun hat...

Hier schon das Ergebnis: dx ist eine lineare Abbildung, die eine reelle Zahl produziert...die nennt man auch dx..und deswegen dürfen wir mit den dx rechnen als seien es Zahlen...


April 2021

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