Bevor wir wie angekündigt einen kleinen Exkurs über Differenzialformen machen, noch einmal etwas Bodenständiges...
Integrale dienen zur Flächenberechnung
Dazum muss man bestimmte Integrale auswerten, d.h. die Differenz der Stammfunktionen an der oberen und utneren grenze bilden.
Das so bestimmte bestimmte Integral ist aber nur dann der gesuchte Flächeninhalt, wenn der Graph von f(x) über der x-Achse liegt.
Ansosnten muss man die Integration aufteilen und Beträge nehmen, um den Flächeninahlt zu erhalten.
Das ist hinreichend Thema im Matheunterricht. Ich will hier nur daran erinnern.
Das bestimmte Integral gestattet die Berechnung eines Flächeninhaltes (wikipedia)
Beispiel von Franz Rutzinger in GeoGebra
Integrale gestatten das Addieren sehr vieler sehr kleiner Größen
Klar, das macht man auch bei der Berechnung von Flächen. Aber zum beispiel beim Aufladen eines Kondensators fließen immer kleine Ladungsmengen dq auf die Platten. Addiert man diese in Form eines Integrals auf, so erhält man die Gesamtladung Q.
Integrale heben das Differenzieren auf
Die Integralrechnung gilt als Umkehrung der Differenzialrechnung, sowie Dividieren als Umkehren des Multiplizierens gilt.
Differenziert man eine Funktion und integriert man dann das Ergebnis, so landet man wieder bei der Ausgangsfunktion.
Umgekehrt: Das Diferenzieren der Integrale ergibt wieder die Ausgangsfunktion.
Das ist alles etwas salopp fomuliert, aber hilft besser Ideen zu erfassen.
Ich habe die drei Anwendungsbereiche für Integrale noch einmal zusammengefasst:
Im nächsten Post kommen wir dann zu unserem kleinen Exkurs über Differenziale.
Und dann endlich geht es an das Lösen der ersten DGL.