Post 4: Das Inverse ist eindeutig bestimmt

Ich möchte jetzt mal einen Satz formal beweisen:

Satz:

Sei (G,#) eine Gruppe mit dem neutralen Element n. Dann ist das zu jedem Gruppenelement g bestimmte inverse Element g' eindeutig bestimmt.


Übersetzung:

Bezüglich der Gruppe (Z,+) gehört zu jeder positiven Zahl eine eindeutig bestimmte negative Zahl. Das Inverse zu 3 ist -3...und nur -3 ist es...


Beweis:

Wir nehmen an, das Gruppenelement g hat zwei Inverse a und b.

Da a Inverses zu g ist, gilt:

g#a = a#g = n (1)

Da b Inverses zu g ist, gilt:

g#b = b#g =n (2)


Nun nehmen wir aus Gleichung (1) den Teil g#a = n und verknüpfen beide Seiten von links mit b:

b # g # a = b # n (3)

Klammern brauchen wir nicht zu setzen, denn es gilt ja das Assoziativgesetz.

b#g ist nach Gleichung (2) aber n,

deshalb können wir für Gleichung (3) schreiben:

n#a = b#n (4)

Da n das neutrale Element ist, kann man es auch "weglassen" und wir erhalten:

a = b

Also: Wenn ein Gruppenelement zwei verschiedene Inverse hätte, dann müssen die gleich sein.

Deshalb hat ein Gruppenelement nur ein eindeutig bestimmtes Inverses. qed (was zu beweisen war)


Ich gebe zu, viel Umstand für was total Logisches...aber jetzt wissen wir, dass das für jede Gruppe gilt, auch solche, bei der keine Zahlen vorkommen und wir es uns anschaulich nicht vorstellen können..