Man kann bestimmte Eigenschaften für eine Menge bezüglich einer vorgegebenen Verknüpfung fordern und andere Eigenschaften der Gruppenstruktur dann beweisen.
Wir wollen in unserer Gruppe Gleichungen lösen können:
In (Z,+) geht das gut: a + x = b erfordert, dass ich nach x auflösen kann. Ich muss also die Addition mit a aufheben können. Es muss also für jede Zahl eine andere geben, die ihre Wirkung bezüglich der Addition aufhebt. Klar, das ist (-a):
(-a) + a + x = (-a) + b ergibt sich, wenn ich auf beiden Seiten (-a) addiere.
Damit erhalten wir x = (-a) + b = b-a als Lösung.
Die Aufhebung funktioniert, weil (-a) + a = 0 ist und die Zahl 0 nichts bei der Addition bewirkt.
Damit wird auch die Frage des letzten Posts klar: Ist (Z,*) eine Gruppe, d.h. können wir in dne ganzen Zahlen alle Produktgleichungen der Form a*x = b lösen?
Nein, geht nicht...denn für 3*x = 5 finden wir keine ganze Zahl, die die Multiplikation mit 3 aufhebt. Natürlich kennt man die Lösung: x = 5/3...aber das ist keine ganze Zahl!
Die Lösungen der Gleichungen müssen schon in den vorgegebenen Mengen liegen.
Eine Gruppe ist, wie schon der Name sagt, immer etwas in sich geschlossenes.
Das können wir jetzt verallgemeinern:
Wir haben eine Menge G mit der Verknüpfung #.
Wir brauchen zu jedem Element g aus G ein sogenanntes inverses Element g' (oft mit g hoch -1 oder auch - g) bezeichnet. g und g' ergeben miteinander verknüpft das Element, was nichts bewirkt, das Nullelement 0, das oft auch neutrales Element n genannt wird:
g#g' = g'#g = n
Vorsicht: Das Nullelement ist nicht immer gleich der Zahl 0, es kann z.B. auch eine Drehung um 0° sein.
Das sieht komplizierter aus, als es ist:
Schreibt man das mit Zahlen hin, so kennt das jede/r:
3 + (-3) = (-3) + 3 = 0
Nun können wir für uns genau festlegen, was wir unter einer Gruppe verstehen wollen:
Eine Menge G bildet zusammen mit einer Verknüpfung # zwischen den Elementen von G eine Gruppe (G,#), wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:
Abgeschlossenheit:
Verknüpft man zwei Elemente a und b aus G miteinander, so erhält man wieder ein Element a#b aus G.
Assoziativgesetz:
Klammern spielen bei Berechnungen keine Rolle
a#(b#c) = (a#b)#c = a#b#c
Existenz des Neutralelementes:
Es gvbt ein Element n aus G, so dass jede Verknüpfung a#n = n#a = a ergibt. n bewirkt nichts.
Existenz des Inversen:
Zu jedem Element g gibt es ein inverses Element g', das die Wirkung von g aufhebt:
g#g' = g'#g = n
Ist die Verknüpfung noch kommutativ, d.h. gilt: a#b = b#a, so spricht man von einer abelschen Gruppe.
Was wird unsere Aufgabe sein?
- Überlegt euch weitere Beispiele von Zahlenmengen und Verknüpfungen, die eine Gruppe bilden. Überprüft unsere Kriterien!
- Kann es sein, dass eine Gruppe zwei verschiedene Neutralelemente hat?
- Kann ein Element mehrere verschiedene inverse Elemente haben?
- Reichen unsere Kriterien aus zu zeigen, dass in einer Gruppe jede Gleichung der Form a#x = b eindeutig lösbar ist?
Denkt mal drüber nach... in den nächsten Posts gehen wir darauf ein.