Wie führt man Integrale in der Schule ein?
Das Ausgangsproblem ist die Bestimmung einer Fläche unter einer Kurve. Dann zerlegt man die Fläche in Rechtecke und bildet sog. Ober- und Untersummen.
Die Folge dieser Summen läuft, wenn man die Rechtecke immer schmaler macht, auf einen Grenzwert hinaus, und der wird als Integral bezeichnet.
GeoGebra: 6 Rechtecke
GeoGebra: 16 Rechtecke...der Mittelwert zwischen Ober- und Untersumme nähert sich dem Integral an.
Dabei wird dann das dx oft als "historisch begründetes Symbol" ohne Malpunkt davor eingeführt.
Lineare Annäherung
Oft tauchen Differenziale später im Rahmen von Fehlerrechnungen auf.
Man nähert eine Kurve in der Umgebung eines Punktes (x,y) der Funktion durch eine Tangente an den Graphen in diesem Punkt an. Die Tangente ist dadurch festgelegt, dass ihre Steigung gleich der Ableitung an dieser Stelle ist, also Tangentensteigung m = f`(x).
Dann kann man an diese Tangente ein Steigungsdreieck anzeichnen und erhält dy als Zuwachs in y-Richtung, wenn man um dx in x-Richtung weitergeht.
Das muss man klar unterscheiden, von den mit Delta ausgedrückten Zuwachsschritten der eigentlichen Funktion.
Man kann dy auch als eine Funktion auffassen, die von der Steigung m = f`(x) und der Schrittweite dx abhängt.
dy ordnet also der Schrittweite dx einen Wert zu.
Wie in der Mathematik üblich, ersetzen wir in der Interpretation die Funktion dy dann durch den Wert, den sie einnimmt.
Es gilt: dy = f`(x) * dx ist somit eine reellle Zahl (die durchaus auch sehr groß sein kann!).
dy stellt somit eine lineare Annäherung an den Verlauf der Funktion dar. Man nennt dy deshalb auch Linearform.
In der unmittelbaren Umgebung des Punktes A beschreibt die Tangente den Verlauf der Funktion.
Man kann das auch so schreiben: f`(x) = dy/dx und erhält den Differenzialquotienten, also den Bruch aus zwei Differenzialen. Dieser Bruch ist, als Tangentensteigung, unabhängig von den Werten für Zähler und Nenner, da die ja zueinander proportional sind.
Der Differenzenquotient delta y/delta x erfüllt das nicht, aber wir nutzen den eh nicht.
Eigentlich reicht das aus, um unsere Darstellung von DGL in den nächsten Posts zu verstehen.
Ich möchte aber noch etwas allgemeiner herausstellen, was eigentlich Linearformen als Oberbegriff für Differenziale sind und wozu sie dienen.
Diese Posts können gerne übersprungen werden, aber wer sie nachvollzieht, wird viel besser die mathematischen Grundlagen der Relativitätstheorie und der Quantenmechanik verstehen können.