Hier zuerst die Lösungen der Aufgaben aus Post 22:
1) Wir haben die spezielle Lösung x(t) =3t² erhalten.
Damit ist dx/dt = 6t
Das können wir in die inhomogene DGL einsetzen:
6t- 1/t * 3t² = 3t
zusammenfassen:
6t - 3t = 3t
Das ist eine wahre Aussage.
2) Nun machen wir das mit der allgemeinen Lösung: x(t) = c*t + 3t²
Ableiten: dx/dt = c + 6t
Einsetzen in die DGL:
c + 6t - 1/t * (ct + 3t²) = 3t
Umformen:
c + 6t - c - 3t = 3t
3t = 3t
Wieder eine wahre Aussage...
3) Nun müssen wir eine spezielle Lösung für die Bedingung x(1) = -4 bilden.
Wir setzen in die Lösungsfunktion ein:
-4 = c*1 + 3*1² = c + 3
Daraus ergibt sich c = -7
Die Funktion x(t) = -7t + 3t² erfüllt also die Bedingung.
Und hier ist ihr Graph!
DGL stellen immer allgemeine Bedingungen für Funktionen dar. Welche der vielen möglichen Lösungsfunktionen sinnvoll sind, das legen die physikalischen Bedingungen fest (Randbedingungen, Anfangswerte).
Damit möchte ich diese Postreihe schließen. In den ersten Posts wollte ich die DGLs vorstellen, die in einem Physikkurs eine Rolle spielen. Mit dem Lösen einer allgemeinen DGL und dem Vorführen des Verfahrens "Variation der Konstanten" sind wir einen deutlichen Schritt aus der Schulmathematik gegangen.
Einen neuen Matheworkshop wird es als Präsenzveranstaltung in den ersten beiden Wochen der Sommerferien im SFN geben.
Ich möchte daran erinnern, dass hier auf dieser Homepage ein weiterer Workshop zur Gruppentheorie ist und ein Link zu einem Workshop über komplexe Zahlen.