Post 22: Variation der Konstanten

In Post 21 haben wir die DGL


dx(t)/dt - 1/t * s(t) = 3*t


betrachtet.

Um diese lineare DGL 1.Ordnung zu lösen, muss man die hom,ogene DGL lösen, also

dx(t)/dt - 1/t * x(t) = 0

Das konnten wir durch die Trennung der Variablen machen.

Wir haben für die homogene Gleichung als Lösung erhalten: x(t) = c * t


Nun müsen wir eine spezielle Lösung der inhomogenen DGL finden.

Dann gilt die Regel:


Allgemeine Lösung der inhomogenen DGL = allgemeine Lösung der homogenen DGL + spezielle Lösung der inhomogenen DGL.


Wir findet man nun eine spezielle Lösung der inhomkogenen DGL?


Verfahren 1: Raten und bestätigen durch Einsetzen.


Verfahren 2: Sinnvoll raten, d.h. die gesuchte Lösungsfunktion muss so ähnlich wie die rechte Seite der DGL aussehen, als wenn xs diese spezielle Lösung ist, dann kommt ein Polynom mit t in Frage, aber nicht xs = ln(t)...


Verfahren 3: Variation der Konstanten

Man nimmt die Konstante c als von t abhängig an, also als c(t), und versucht eine sinnvolle Lösung für c zu finden.

Das lernt man am besten, wenn man sich ein Beispiel ansieht:

Also:

Unsere spezielle Lösung soll sein xs(t) = c(t) * t

Das setzen wir in die ursprüngliche, inhomogene, DGL ein:


dxs(t)/dt - 1/t*xs(t) = 3*t


Bei der Bildung der ersten Ableitung müssen wir die Produktregel anwenden, denn der erste Faktor c(t) hängt von t ab und der zweite Faktor, das t, auch.

Also ist dxs/dt = dc/dt * t + c* 1.

Zur Vereinfachung habe ich jetzt die (t) - Angaben weggelassen...


Das setzen wir jetzt in die DGL ein:


dc/dt * t + c - 1/t * c*t = 3*t


Das ergibt:


dc/dt * t +c - c = 3*t


dc/dt * t = 3 * t


Also: dc/dt = 3

Wir suchen also eine Funktion c(t), deren erste Ableitung die Zahl 3 ergibt.

Na, da brauchen wir gar nicht lange raten...das ist c(t) = 3*t.


Das setzen wir nun ein und erhalten eine spezielle Lösung der inhomogenen DGL:

xs(t) = 3*t * t = 3*t²


Aufgabe: Überprüfe, das x(t) eine Lösung der DGL dx/dt - 1/t*x = 3t ist.


Nun sind wir fertig:

Diese spezielle Lösung addieren wir zur allgemeinen Lösung der inhomogenen DGL:


Lösung der DGL

dx/dt - 1/t*x = 3t

ist

x(t) = c * t + 3t².


Die Konstante c bestimmt man durch eine Bedingung, die sich aus der Aufgabenstellung ergibt (Anfangswerte).

Hier einige Beispiele für Lösungsfunktionen:



Aufgabe: Zeige, dass diese Gleichung x(t) = c * t + 3t² wirklich eine Lösung der inhomogenen DGL dx/dt - 1/t*x = 3t ist.


Aufgabe: Bestimme eine Lösung, die bei t = 1 den Wert -4 hat.


Die Lösungen mit abschließenden Bemerkungen gibt es im nächsten und letzten Post dieser Reihe.