In Post 21 haben wir die DGL
dx(t)/dt - 1/t * s(t) = 3*t
betrachtet.
Um diese lineare DGL 1.Ordnung zu lösen, muss man die hom,ogene DGL lösen, also
dx(t)/dt - 1/t * x(t) = 0
Das konnten wir durch die Trennung der Variablen machen.
Wir haben für die homogene Gleichung als Lösung erhalten: x(t) = c * t
Nun müsen wir eine spezielle Lösung der inhomogenen DGL finden.
Dann gilt die Regel:
Allgemeine Lösung der inhomogenen DGL = allgemeine Lösung der homogenen DGL + spezielle Lösung der inhomogenen DGL.
Wir findet man nun eine spezielle Lösung der inhomkogenen DGL?
Verfahren 1: Raten und bestätigen durch Einsetzen.
Verfahren 2: Sinnvoll raten, d.h. die gesuchte Lösungsfunktion muss so ähnlich wie die rechte Seite der DGL aussehen, als wenn xs diese spezielle Lösung ist, dann kommt ein Polynom mit t in Frage, aber nicht xs = ln(t)...
Verfahren 3: Variation der Konstanten
Man nimmt die Konstante c als von t abhängig an, also als c(t), und versucht eine sinnvolle Lösung für c zu finden.
Das lernt man am besten, wenn man sich ein Beispiel ansieht:
Also:
Unsere spezielle Lösung soll sein xs(t) = c(t) * t
Das setzen wir in die ursprüngliche, inhomogene, DGL ein:
dxs(t)/dt - 1/t*xs(t) = 3*t
Bei der Bildung der ersten Ableitung müssen wir die Produktregel anwenden, denn der erste Faktor c(t) hängt von t ab und der zweite Faktor, das t, auch.
Also ist dxs/dt = dc/dt * t + c* 1.
Zur Vereinfachung habe ich jetzt die (t) - Angaben weggelassen...
Das setzen wir jetzt in die DGL ein:
dc/dt * t + c - 1/t * c*t = 3*t
Das ergibt:
dc/dt * t +c - c = 3*t
dc/dt * t = 3 * t
Also: dc/dt = 3
Wir suchen also eine Funktion c(t), deren erste Ableitung die Zahl 3 ergibt.
Na, da brauchen wir gar nicht lange raten...das ist c(t) = 3*t.
Das setzen wir nun ein und erhalten eine spezielle Lösung der inhomogenen DGL:
xs(t) = 3*t * t = 3*t²
Aufgabe: Überprüfe, das x(t) eine Lösung der DGL dx/dt - 1/t*x = 3t ist.
Nun sind wir fertig:
Diese spezielle Lösung addieren wir zur allgemeinen Lösung der inhomogenen DGL:
Lösung der DGL
dx/dt - 1/t*x = 3t
ist
x(t) = c * t + 3t².
Die Konstante c bestimmt man durch eine Bedingung, die sich aus der Aufgabenstellung ergibt (Anfangswerte).
Hier einige Beispiele für Lösungsfunktionen:
Aufgabe: Zeige, dass diese Gleichung x(t) = c * t + 3t² wirklich eine Lösung der inhomogenen DGL dx/dt - 1/t*x = 3t ist.
Aufgabe: Bestimme eine Lösung, die bei t = 1 den Wert -4 hat.
Die Lösungen mit abschließenden Bemerkungen gibt es im nächsten und letzten Post dieser Reihe.