Post 21: Lineare DGL 1. Ordnung

Seit dem letzten Post ist doch mehr Zeit vergangen. Durch Abiturvorbereitungen und dann die tägliche Late Night Show (siehe Unterseite von Podcasts) fehlte dann doch die Zeit.

Aber ich möchte abschließend noch einige weitere Infos zu DGL posten.


Lineare DGL 1. Ordnung:

Als Funktion betrachten wir x(t), dabei kann man sich t als Zeit und x als zurückgelegten Weg vorstellen.

Dann sieht eine lineare DGL 1. Ordnung so aus:


a(t) * dx(t)/dt + b(t) *x(t) = s(t)


Da alles von der Variablen t abhängen soll, können wir in Kurzform schreiben:


a*dx/dt + b*x = s


a und b sind von t abhängige Faktoren und s wird allgemein als Störung bezeichnet.

Ist s(t) = 0, so nennt man diese störungsfreie DGL auch eine homogene DGL.

Ist s(t) nicht 0, so spricht man von einer inhomogenen DGL, die Störung s nennt man auch Inhomogenität..


Lösungsrezept einer inhomogenen linearen DGL. 1.Ordnung:

Schritt 1:

Man lässt die Störung weg und löst die homogenen DGL allgemein.


Schritt 2:

Man rät eine Lösung der inhomogenen DGL und addiert diese zur allgemeinen Lösung der homogenen DGL. Diese eine besondere Lösung (aus oft unendlich vielen Möglichkeiten) nennt man auch partikuläre Lösung.

Damit man bei Schritt 2 nicht gänzlich auf Eingebung oder Probieren angewiesen ist, werde ich im nächsten Post ein Verfahren an einem Beispiel vorführen (Variation der Konstanten) und einen Trick für sinnvolles Raten vorstellen.


Und nun gehen wir mal konkret ein Beispiel durch!

Beispiel:


DGL: dx(t)/dt - 1/t * s(t) = 3*t


Vorfaktoren a =1, b=1/t

Störung s(t) = 3*t


Ich zeige erst einmal das Richtungsfeld dieser DGL mit einer eingezeichneten Lösungsfunktion:


Schritt 1 Lösen der homogenen DGL

Die homogene DGL lautet:


dx(t)/dt - 1/t * x(t) = 0


Diese DGL kann man durch Trennung der Variablen lösen, das haben wir früher schon einmal gemacht. Die Regeln sollten bekannt sein.

Achtung: Ich habe "ln" nicht gekürzt...entweder argumentiert man mit "e hoch" auf beiden Seiten oder sagt: Wenn bei gleicher Basis (e) auch die Exponenten gleich sind (ln../...), dann müssen auch die Potenzen (.../... ) gleich sein.




Zum Schluss habe ich den Quotienten als neue Konstante c eingeführt.

Die Lösung der homogenen DGL ist dann x(t) = c * t.

Im nächsten Post geht es dann zum zweiten Schritt.