Der Titel ist mehrdeutig:
- Wir halten inne, um uns die Lösung der letzten Aufgabe anzusehen.
- Wir lernen kurz stehende Wellen kennnen.
- Der Blog hält inne und verlangsamt das Tempo...
Lösung der Aufgabe:
Zuerst die Lösung:
Wir wollten zeigen, dass
s (x, t) = So * sin [2π*(t/T – x/λ)]
diese DGL löst:
d²s/dt² - c² * d²s/dx² = 0 ,
Dazu müssen wir erst die jeweils zweiten Ableitungen nach dem Ort x und der Zeit t bilden. Dabei muss man mehrfach die Kettenregel anwenden, immer das Omega oder das k als Vorfaktor holen. Mit den Vorzeichen muss man dabei besonders aufpassen.
Dann setzt man die zweiten Ableitungen in die DGL ein. Durch Ausklammern erhält man ein Produkt, das gleich 0 sein soll.
Der erste Faktor ist eine Sinus-Funktion. Die kann nie immer gleich 0 sein. Also muss der zweite Faktor das übernehmen und das Produkt zu 0 machen.
Unsere DGL wird also durch unsere Funktion gelöst, wenn die letzte Gleichung erfüllt ist.
Diese Gleichung ist aber nichts anderes als eine Formel für die Wellengeschwindigkeit:
c = Wellenlänge/Periodendauer = Lambda * f,
die alle kennen, die mal Wellen im Unterricht behandelt haben.
Stehende Wellen:
Stehende Wellen sind eigentlich Eigenschwingungen, also Schwingungen mit ortsabhängiger Amplitude. Den Bereich größter Schwingungsamplitude nennt man Bauch der stehenden Wellen. An den Knoten ist die Auslenkung immer 0.
Stehende Wellen entstehen immer, wenn eine Welle irgendwo reflektiert wird. Sie sind eine Überlagerung von hin- und rücklaufender Welle.
Das zeigt die Animation oben sehr schön. Die rote Welle kommt von links, die grüne Welle von rechts und die resultierende blaue Welle steht still....
Wir wollen hier nur die DGL einer stehenden Welle angeben und die Lösungsfunktion.
Wer will, kennt ja schon die Prozedur...ableiten, einsetzen und fertig!
Wie geht es weiter im Blog?
Ich habe seit dem 1.4. täglich einen Post veröffentlicht. Das war viel Arbeit und sollte in der Pandemie den Ferienworkshop ersetzen.
Der Blog hat sich (bis auf 5 Posts als Ausnahme: Differenzialformen, Richtungsfelder) so entwickelt, dass alles, was man in einem LK Physik im Abitur über DGLs wissen muss, hier rechtzeitig vor dem Physik-Abi 2021 angesprochen wird.
Es gibt also die eine Leserin oder den einen Leser, die bisher nur wenig Neues gelernt haben.
In den nächsten Posts möchte ich auf einige andere Lösungsverfahren für DGL eingehen und auch noch etwas über den Zusammenhang zu chaotischen Systemen aufzeigen.
Das wird aber jetzt so sein, dass ich wöchtenlich nicht mehr als 2 Posts veröffentliche, immer, wenn ich gerade etwas Zeit habe.
Bleibt also dran...