Eine Gruppe soll für die Menge M und die Verknüfpung # ein Rechenbereich sein, in dem man Gleichungen lösen kann.
Das geht in den natürlichen Zahlen bezügl. der Addition nicht immer:
3 + x = 17 ist mit x = 14 lösbar.
3 + x = 2 ist in den natürlichen Zahlen N nicht lösbar, da x= -1 keine natürliche Zahl ist.
Aber unter den ganzen Zahlen Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,....} ist jede Additionsaufgabe lösbar.
Allgemein heißt das:
Wenn die Gleichung a + x = b mit ganzen Zahlen a und b gegeben ist, dann liegt auch die eindeutig bestimmte Lösung x = b-a in den ganzen Zahlen.
Damit haben wir unsere erste Gruppe gefunden:
Die ganzen Zahlen bilden bezügl. der Addition eine Gruppe, d.h. (Z,+) ist eine Gruppe.
Wie sieht das mit den ganzen Zahlen bezüglich der Multiplikation aus? Ist (Z,*) auch eine Gruppe?
Man kann so Gruppen definieren, aber das ist eher nur umständlich nachzuprüfen, da man ja die Lösbarkeit von Gleichungne utnersuchen muss.
Wenn man sich aber die Lösungsschritte einer solchen Gleichung ansieht, wird man erkennen, dass es einfachere Kriterien gibt, mit denen man überprüfen kann, ob eine Menge aus Objekten bezüglich einer Verknüpfung eine Gruppe bildet.
Das werdne wir im nächsten Post mkachen.
Vorher aber möchte ich noch auf die Bedeutung der Gruppen hinweisen:
Gruppen haben sehr viel mit Symmetrien zu tun.Wenn man alle Abbildungen betrachtet, die ein geometrisches Objekt (oder eine Struktur aus Elementarteilchen) unverändert lassen und dies als Grundmenge einer Gruppe ansieht (z.B. die Menge aller Spiegelungen, Drehungen etc...) und als zugehörige Verknüpfung ("Rechnung") das Hintereinanderausführen der Abbildungen ansieht, dann erhält man wieder eine Gruppenstruktur.
Vielleicht gehen wir noch auf die sog. Lie-Gruppen ein, das sind die Symmetriegruppen der Elementarteilchenphysik.
Die Elemente einer Gruppe kann man in Untergruppen einteilen, in Klassen ordnen, zu Erzeugendensystemen ausbauen und vieles mehr.
Wir werden auch viele endliche Gruppen als Beispiele kennenlernen. Erst 1983 war man in der Lage diese alle zu klassifizieren.
Dazu später mehr. Erst einmal müssen wir Kriterien finden , mit denen man einfach überprüfen kann, ob eine Gruppe überhaupt vorliegt.