In den nächsten Posts möchte ich etwas zu den Angaben dx oder dt sagen, die man spätestens dann zum ersten Mal sieht, wenn man Integrale kennenlernt.
Diese Posts sind nicht notwendig, um später Differenzialgleichungen (ab sofort als DGL abgekürzt) zu lösen.
Ich finde, sie helfen aber ganz pragmatisch die ein oder andere Methode leichter anzuwenden.
Ursprung des Symbols dx
Integrieren kann bedeuten, die Fläche unter einem Funktionsgraphen zu bestimmen.
wikipedia
Dazu denkt man sich die Fläche in schmale Rechtecke der Breite dx und der Höhe f(x) zerlegt. Das Produkt f(x) * dx steht dann für die Rechteckfläche.
Dabei hängt die breite dx durchaus vom ort x ab, an dem man das Rechteck einzeichnet.
Aber dx(x) schreibt keiner... (dx von x...).
Mathe Uni Stuttgart mit Änderungen von mir
Alle Flächen werden dann zur Gesamtfläche aufaddiert.
Das schreibt man als Integral, da die Breite dx beliebig klein sein kann (sie muss es nicht!) und es somit beliebig viele Rechtecke geben kann, die man aufaddieren muss.
Die linke und die rechte Grenze der Gesamtfläche werden als a und b unten bzw. oben an das Integralzeichen (ein geschwungenes S für Summe) angeschrieben (manchmal lässt man das auch weg).
In der englischsprachigen Literatur wird das oft ganz pragmatisch erklärt:
technote
i) Da steht ein Malzeichen zwischen f(x) und dx. Ich kenne Mathelehrer, die ziehen einen Punkt ab, wenn man das macht. Ihr werdet sehen, dass das Blödsinn ist...Das dx steht hier als quantity, als Menge, also als Zahl! Ich schreibe immer f(x) * dx!
ii) und iii) Diese Produkte werden aufaddiert!
Das dx in deutschen Mathebüchern
Ich habe mal recherchiert, wie das dx in deutschen Schulmathebüchern eingeführt wird.
Zuerst kommen die komplett unsinnigen "Deutungen":
- Das d ist ein Trennzeichen zwischen der Funktion f(x) und dem Maß x.
- Das dx hinter dem Integralzeichen hat keine Bedeutung, auch keinen Einfluss auf das Endergebnis. Man kann es auch weglassen...(was einige Bücher dann tun...).
Nun kommen Deutungen, die richtige Hinweise geben, aber mathematisch keinen Sinn machen:
- Das d allein hat keine Bedeutung. Das "dx" gehört zusammen. Das x gibt die Variable an, über die aufsummiert werden soll und das d sagt, dass integriert wird.
- dx ist ein Symbol für eine Rechenanweisung.
- Wenn die Differenz zweier x-Stellen (x1 - x2) beliebig klein wird, dann nennt man sie dx.
Sinnvolle Interpretationen:
- dx ist ein Faktor, also eine Zahl.
- Mit dx kann man wie mit Zahlen rechnen, insbesondere ist dy/dx ein Bruch.
Im nächsten Post werde ich diese Interpretationen erläutern.
Wie habt ihr denn das "dx" interpretiert? Schreibt doch mal einen Kommentar.