DGL einer Welle
Wellen entstehen, wenn die Oszillatoren miteinander gekoppelt sind und ihre Schwingungen übertragen können.
Sind die Schwingungen sinusförmig, so haben auch die Momentbidler eienr Welle zur Zeit t eine sinusförmige Form. Letztlich kann man nur an der Beschriftung der Achsen erkennen, ob die Kurve das Weg-Zeit-Diagramm einer Schwingung oder das Momentbild einer Welle ist.
In fast allen Lehrbüchern wird die DGL einer Welle durch Diksussion der auf einen Oszillator wirkenden Kräfte hergeleitet.
Einmal gibt es natürlich die Rückstellkraft, die vom Mechanismus des Oszillators selbst ausgeht, anderersetis wirken auch die benachbarten Oszillatoren über die Kopplung.
Das Ergebnis dieser Betrachtungen ist das Folgende:
Eine Welle wird mathematisch beschrieben durch eine Funktion, die die Auslenkung s in Abhängigkeit von Ort x und Zeit t beschreibt: s = s(x,t).
Für die auf einen am Ort x zur Zeit t wirkende Rückstellkraft F auf einen Oszillator gilt:
F = - Z * d²s(x,t)/dx².
Z ist eine Proportionalitätskonstante, die die Steifigkeit des Mediums beschreibt, in dem die Welle sich ausbreitet.
Die zweite Ableitung d²s/dx² beschreibt die Krümmung des Wellenzuges am Ort x zur Zeit t.
Für eine Parabel wäre die zweite Ablöeitung eine Konstante, d.h. eine Parabel hat eine konstante Krümmung. Das gilt für Wellen nicht.
Eigentlich müssten wir das als eine partielle Ableitung ansehen, da die Funktion s nur nach t abgeleitet wird. Aber wir verwenden die fürs Differenzieren uns bekannten Symbole.
Auf jeden Oszillator wirken somit zwei Kräfte, die Rückstellkraft und die Trägheitskraft m*a, wenn m die Masse des Oszillators ist.
Da die Beschleunigung a die zweite Ableitung von s nach der Zeit ist, können wir auch als Trägheitskraft m * d²s/dt² angeben.
Wie üblich muss die Summe aller Kräfte 0 ergeben:
-Z * d²s(x,t)/dx² + m * d²s(x,t)/dt² = 0
Das ist sie schon, unsere DGL einer Welle. Um sie in der üblichen Form zu schreiben, teilen wir beide Seiten durch (-Z) und erhalten:
d²s/dt² - Z/m * d²s/dx² = 0.
Z/m beschreibt die Ausbreitungsgeschwindigkeit c der Welle: Je träger der Oszillator ist (m im Nenner) und je weniger zäh das Ausbreitungsmedium istz (Z im Zähler) , desto langsamer breiten sich die Wellen aus.
Untersucht man die Einheit von Z/m, so merkt man, dass das Quadrat einer Geschwindigkeitseinheit vorliegt.
Ohne näheren Beweis geben wir also an:
Z = c², wobei c die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle ist.
Nun ist sie fertig, die DGL einer Welle:
d²s/dt² - c² * d²s/dx² = 0 ,
wobei s = s(x,t) eine Funktion der beiden Variablen Ort x und Zeit t ist.
Achtung:
ds/dt ist eine Geschwindigkeit, aber nicht die der Welle, sondern die eines Oszillators bei seiner Schwingung!
Nun kann man sich die Funktion s(x,t) überlegen. Das macht man durch den folgenden Ansatz:
Der Oszillator an Ort x schwingt um die Zeit t=x/c verzögert.
Setzt man das in die Schwingungsgleichung ein (man muss t durch t-x/c ersetzen), so erhält man nach einigen Umformungen die gesuchte Wellenfunktion:
s (x, t) = So * sin (ω*t – k*x) mit ω= 2πf als Winkelgeschwindigkeit und k = 2π/λ als sog. Wellenzahl.
Da f = 1/T (T ist die Periodendauer) gilt, kann man auch schreiben:
s (x, t) = So * sin [2π*(t/T – x/λ)]
Bei dieser Form der Wellengleichung sieht man sehr schön, dass eine Welle sowohl eine zeitliche Periode (Schwingungsdauer T) als auch eine räumliche Periode (Wellenlänge λ) hat.
Nun, wir müssen das nicht herleiten. Wir kennen die DGL und haben diese Wellenfunktion sinnvoll geraten...
Nun müssen wir diese Funktion in die DGL einsetzen und zeigen, dass eine wahre Aussage entsteht. Das ist eure Aufgabe....
Viel Spaß dabei...bis zum nächsten Post...