Post 18: Des Rätsels Lösung

Updated: Apr 24

In diesem Post möchte ich nur die Lösungen der Aufgaben angeben:


1) Wenn das Weg-Zeit-Gesetz einer harmonischen Schwingung durch eine Sinus-Kurve dargestellt wird, dann wird das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz durch eine cos-Kurve dargestellt.

Zeige das durch Ableiten und gib eine Formel für die maximale Geschwindigkeit an.

Lösung:

s(t) = So* sin(ω*t) muss nach t abgeleitet werden:

v(t) = ds/dt = ω*So* cos(ω*t)

Man muss die Kettenregel benutzen (innere Ableitung ist ω) und wissen, dass sin differenziert cos ergibt (was man aber auch sofort erkennt, wenn man sich die beiden Kurven ansieht).


So ist die Amplitude, das ist der Radius r des Kreises, aus dem die sinus-Funktion entsteht.

Da der Verlauf der Geschwindigkeit des Oszillators eine cos-Funktion darstellt, muss ω*So = ω*r die Geschwindigkeit Vmax des kreisenden Punktes sein: Vmax = ω*r ist eine bekannte Formel der Kreisbewegung.



2) Wie lautet das Beschleunigungs-Zeit-Gesetz einer harmonischen Schwingung? Ist Dir die Formel für die maximale Beschleunigung im Physikunterricht schon mal begegnet?

Lösung:

Um die Beschleunigung zu erhalten, müssen wir noch einmal ableiten. Aus cos wird dabei

- sin und ein weiteres ω kommt durch die innere Ableitung als Faktor dazu:

a(t) = dv/dt = d²s/dt² = - ω² * So * sin(ω*t)

Wieder ist der Vorfaktor die Beschleunigung der Kreisbewegung a = ω² * r = (v/r)² * r

Wenn wir das Umformen, dann erhalten wir die Formel für die Zentralbeschleunigung einer Kreisbewegung:

a = v²/r.


3) Das Weg-Zeit-Gesetz einer harmonischen Schwingung ist aus dem Physikunterricht bekannt (So ist die Amplitude der Schwingung (Kreisradius)):

s(t) = So* sin(ω*t)

Zeige, dass dies eine Lösung der DGL m* d²s(t)/dt² + D*s(t) = 0 ist.

Lösung:

Wenn wir die 2.Ableitung und die Ursprungsfunktion in die DGL einsetzen, dann erhalten wir:

m * (- ω²) * So * sin(ω*t) + D* So* sin(ω*t) = 0

Ausklammern:

So * sin(ω*t) * [m * (- ω²) + D] = 0

Der erste Faktor ist garantiert nicht immer 0 (es hängt ja von t ab), also muss die Klammer immer 0 ergeben:

m * (- ω²) + D = 0

Damit erhalten wir ω² = D/m


Jetzt kommt ein beim Lösen von Gleichungen eher unbekanntes Argument:

Die angegebene Funktion s(t) = So* sin(ω*t) löst immer dann die DGL

m* d²s(t)/dt² + D*s(t) = 0, wenn ω² = D/m ist.

Damit haben wir auch gleich die Formel für die Schwingungsdauer unseres Federpendels erhalten, denn ω = 2*Pi*f = 2*Pi/T, wobei T die Schwingungsdauer ist.


Durch das Raten und Überprüfen der Lösung haben wir auch eine wichtige Formel der Schwingungsphysik hergeleitet.


DGL sind schon irre...


Hinweis mt Ergänzung: ω*t ist einfach der Drehwinkel der Kreisbewegung in der Zeit t, ω ist die Winkelgeschwindigkeit, also der gedrehte Drehwinkel pro Zeit.

Also: Für den Drehwinkel 360° = 2*Pi muss die Schwingungsperiode T als Zeit genommen werden.

4) Gibt es noch andere Funktionen, die diese DGL lösen? Wie unterscheiden sie sich von der vorgestellten Lösung?

Lösung:

Nun, jede verschobene Sinus-Funktion, also auch die Cos-Funktion erfüllt die DGL.

Es kommt ja nicht drauf an, wann man die Schwingungsbewegung startet.

Die Verschiebung nennt man in der Physik die Anfangsphase p und das schreibt man so:

s(t) = So* sin(ω*t + p).

Wenn ihr das alles oben durchrechnet, mit dem p, dann werdet ihr merken, dass das p beim Bilden der inneren Ableitung wegfällt. Somit sieht man sofort, dass auch

s(t) = So* sin(ω*t + p) für jedes beliebige p die DGL m* d²s(t)/dt² + D*s(t) = 0 löst.


Im nächsten Post lernen wir dann die DGL einer Welle zu verstehen und die Lösung zu überprüfen. Dabei purzelt uns dann die wichtigste Gleichung der Wellenlehre vor die Füße...