Differenzialgleichung einer harmonischen Schwingung
Sobald man eine Schwingung dadurch beschreiben kann, dass man sich eine Kreisbewegung von der Seite ansieht, nennt man sie harmonisch.
Harmonische Schwingungen sind also Projektionen von Kreisbewegungen (Schattenbilder).
Alle harmonischen Schwingungen gehorchen einer einfachen Regel:
Sobald man den Oszillator auslenkt, entsteht eine rücktreibende Kraft F, die proportional zur Auslenkung s ist.
Das lernt man schon als Hookesches Gesetz bei Federn kennen: F = D*s, wobei D (Angabe in N/m) die Federkonstante angibt.
Ein solches Gesetz gibt es für jede harmonische Schwingung, D nennt man dann Richtgröße der Schwingung.
Harmonische Schwingungen kann man durch Sinus-Kurven beschreiben.
Genau das wollen wir jetzt über die DGL zeigen.
Auf den Oszillator wirken zwei Kräfte, die rücktreibende Kraft D*s und die Trägheitskraft m*a (hierbei ist m die träge Masse, siehe auch https://www.natur-science-schule.info/post/was-ist-eigentlich-masse ).
Die Trägheit wirkt immer dem Antrieb entgegen, also gilt m*a = - D*s.
Somit erhält man die Gleichung einer harmonischen Schwingung:
m*a + D*s = 0.
Wieso ist das eine DGL?
Die Auslenkung s hängt von der Zeit t ab, d.h. s = s(t).
Die erste Ableitung dieser Funktion nach der Zeit ds(t)/dt = v(t) ist die Geschwindigkeit.
Leitet man v(t) ab, so erhält man die Beschleunigung a(t):
dv(t)/dt = a(t).
Somit ist die Beschleunigung die zweite Ableitung nach der Zeit:
d²s(t)/dt² = a(t).
Unsere DGL lautet also:
m* d²s(t)/dt² + D*s(t) = 0.
Wir suchen die unbekannte Funktion s(t). Die DGL stellt einen Zusammenhang zwischen s(t) und ihrer zweiten Ableitung d²s/dt² her. Das nennt man eine DGL zweiter Ordnung.
Die Ordnung einer DGL gibt also den Grad der höchsten vorkommenden Ableitungen der Funktion an. Unsere bisherigen DGLs hatten alle die Ordnung 1.
Hilfe 1: Höhere Ableitungen
Wir nehmen mal die Funktion y = 3x³ -2x² +5x+1.
Dann gilt für die erste Ableitung: dy/dx = 9x² - 4x + 5
Und für die zweite Ableitung: d²y/dx² = 18x - 4
Die dritte Ableitung wäre d³y/dx³ = 18 und alle weiteren Ableitung wären 0.
Die erste Ableitung beschreibt die Steigung einer kurve, die zweite Ableitung ihre Krümmung.
Hilfe 2: Geschwindigkeiten und Beschleunigungen als Ableitungen
Man muss sich nur klar machen, dass Ableitungen Änderungsraten sind.
Geschwindigkeiten sind Änderungsraten von Strecken. Man gibt sie in m pro s an. Das "pro Sekunde" bezeichnet ja die Rate.
Beschleunigungen sind Änderungsraten von Geschwindigkeiten. Man gibt sie in m/s pro s an. So kommt ihre Einheit m/s² zustande.
Aufgaben:
1) Wenn das Weg-Zeit-Gesetz einer harmonischen Schwingung durch eine Sinus-Kurve dargestellt wird, dann wird das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz durch eine cos-Kurve dargestellt.
Zeige das durch Ableiten und gib eine Formel für die maximale Geschwindigkeit an.
2) Wie lautet das Beschleunigungs-Zeit-Gesetz einer harmonischen Schwingung? Ist Dir die Formel für die maximale Beschleunigung im Physikunterricht schon mal begegnet?
3) Das Weg-Zeit-Gesetz einer harmonischen Schwingung ist aus dem Physikunterricht bekannt (So ist die Amplitude der Schwingung (Kreisradius)):
s(t) = So* sin(ω*t)
Zeige, dass dies eine Lösung der DGL m* d²s(t)/dt² + D*s(t) = 0 ist.
Hinweis: ω*t ist einfach der Drehwinkel der Kreisbewegung in der Zeit t, ω ist die Winkelgeschwindigkeit, also der gedrehte Drehwinkel pro Zeit.
4) Gibt es noch andere Funktionen, die diese DGL lösen? Wie unterscheiden sie sich von der vorgestellten Lösung?