Post 15: Richtungsfelder I

Viele DGL kann man so umformen, dass auf der linken Seite nur noch die Ableitung steht und auf der rechten Seite ein Term mit y und x.

x und y sind dann die Koordinaten von Punkten und dy/dx ist dann die Steigung, die die Funktion y(x) in dem Punkt (x,y) hat.

Das können wir durch einen kleinen Strich markieren, der ein winziges Stück einer Tangente darstellt.

Diese vielen kleinen Tangentenabschnitte nennt man das Richtungsfeld der DGL.

Man kann direkt erahnen, wie da Lösungskurven durchlaufen.

Die Abbildung zeigt ein Richtungsfeld einer DGL und eine der möglichen Lösungskurven.




Machen wir das mal konkret:


Nehmen wir zuerst einmal eine ganz andere DGL: dy/dx = 1 + x - y.

Eine Lösung können wir sofort erraten und durch Einsetzen bestätigen:

Die Funktion y(x) = x ist eine Lösung.

Überprüfung: dy/dx = 1, 1 + x -x = 1...passt


Und nun suchen wir uns einen beliebigen Punkt aus:

1) Ursprung (0,0): Dort hat die Lösungskurve die Steigung dy/dx = 1 + 0 - 0 = 1

2) Punkt (1,1): Dort liegt die Steigung dy/dx = 1 + 1 -1 = 1 vor.

3) Punkt (3,5): Steigung dy/dx = 1 +3 - 5 = -1


Nehmen wir nun mal "unsere" DGL.

dy/dx = k* y


Ich schreibe das mal ausführlich: y ist ja eine Funktion von x, also steht da y(x) und wir müssen schreiben:


dy(x)/dx = k*y(x)


Diese Gleichung ordnet nun jedem Punkt (x, y(x)) eine Steigung dy(x)/dx zu.

Schreiben wir mal ein konkretes Beispiel hin:

Wir nehmen k =2, dann steht da dy/dx = 2y

Für y =1 erhalten wir die Steigung dy/dx = 2.

Alle Punkte mit den Koordinaten (x,2) werden also dieser Steigung zugeordnet.

Für y = 3,5 erhalten wir dy/dx = 7, d.h. allen Punkten (x,3,5) wird die Steigung 7 zugeordnet.

Dadurch, dass in der DGL kein x steht, erhalten wir für ein ausgesuchtes y gleich beliebig viele Steigungen. Die Tangentenabschnitte liegen dann parallel zueinander alle nebeneinander.



Mehr möchte ich jetzt nicht erklären.

Zeichnet einmal die Richtungsferlder der DGL dy/dx = 1 + x - y und von dy/dx = 2* y.

Zusammen mit dem Bild als Unterstützung (es hat aber nichts mit den beiden DGLs zu tun) schlage ich vor, jede/r versucht mal ein "paar Tangentenabschitte" per Hand in ein selbstgezeichnetes KS einzuzeichnen.

Im zweiten Beispiel müsstet ihr dann die Exponentialfunktionen erkennen...

Lösungsfunktionen für das erste Beispiel sind schwieriger zu finden. Eine kennen wir ja schon, schaut mal ob ihr sie erkennt.


Im nächsten Post gibt es die Lösungen und noch weitere Beispiele.


Hinweis: Bei der DGL dy/dx = x*y - exp((dy/dx)) kann man kein solches Richtungsfeld einfach angeben, da sich diese DGL nicht nach dy/dx auflösen lässt.


Bis zum nächsten Post...