Bevor wir zu den sog. Richtungsdiagrammen kommen, noch zwei wichtige Anwendung der bisher einzigen DGL, die wir besprochen haben:
dy/dx = +/-k*y
Für das + im Exponenten haben wir exponentielles Wachstum (vergl. kosmische Expansion), für ein Minus eine exponentielle Abnahme (vergl. Kondensatorentladung und radioaktiver Zerfall).
Einschub für zukünftige Banker
Vielleicht erinnert ihr euch? Früher gab es Zinsen, wenn man etwas gespart hat. Und auf die Zinsen gab es dann wieder Zinsen....
Zinsrechnung lernt man in der Klasse 7, natürlich ohne DGL. Aber es geht auch mit DGL...
Nehmen wir an jemand hat 500.-€ auf dem Konto und das Geld ist mit 3% pro Jahr verzinst. Dann hat man am Ende des Jahres 15.-€ Zinsen bekommen (0,03 * 500). Lässt man die weioter auf dem Konto, so werden im zweiten Jahr 515.-€ mit 3% verzinst.
Damit erhält man im zweiten Jahr 15,45.-€ an Zinsen und hat 530,45.-€ am Ende des zweiten Jahres auf dem Konto.
(Das sind traumhafte Erinnerungen...heute gibt es Negativzinsen und man hat immer weniger...).
In der Mittelstufe lernt man die Formel für Zinseszinsen kennen:
Ein Anfangskapital Ko mit p% verzinst (pro Jahr) hat nach n Jahren einen Wert K(n) mit
K(n) = Ko * (1+p)^n
Für unser Beispiel ergibt sich nach 10 Jahren ein Kapital von rund 672.-€
Bitte rechnet mal nach!
Und wie geht das mit DGLs?
Das Kapital nennen wir weiterhin K, den Zinssatz pro beliebiger Zeiteinhait weiterhin p, die Zinsen werden jetzt mit der Kapitaländerung dK bezeichnet, sie sind ein Differenzial geworden.
Es gilt dann die DGL dK = p* K * dt bzw. dK/K = p*dt.
Diese DGL lösen wir durch die Funktion K = Ko * exp (p*t)
Rechnen wir mal aus, was aus unseren 500.-€ jetzt nach 10 Jahren geworden sind?
Und? Macht es mal...
Es kommen rund 675.-€ heraus, also 3.-€ mehr...
Was stimmt nun?
Beides...Die Lösung der DGL ist eine kontinuierliche Funktion, das Kapital wächst ständig. Die Banken lassen es nur am Jahresende einmal wachsen.
Das ist nicht nur einfacher, sondern letztlich auch günstiger für die Banken.
Die beiden Graphen zeigen uns noch einmal wie die beiden Funktionen im OLaufe der Zeit immer mehr voneinander abweichen.
Und nun noch ein allerletztes Beispiel:
Absorption von Strahlung
..oder irgend etwas anderem...
Licht der Intensität Io fällt auf eine Dunstschicht und wird beim Durchgang absorbiert.
Der Intensitätsverlust dI, das Wegstück längs dem dI absorbiert wird sei ds.
Dann gilt die DGL dI = - a * I * ds
Dabei ist I die Intensität, die noch vor ds ankommt und a ist der sog. Absorptionskoeffizient:
a = (dI/I) / ds ist der prozentuale Intensitätsverlust dI/I pro Wegstück ds.
Es ist inzwischen klar, dass die Lösung der DGL die Funktion I(s) = Io * exp(-a*s) ist.
Alles, was irgendwo auftrifft, dringt auf diese Art exponentiell abfallend in ein Hindernis ein. Den eindringenden Teil nennt man evaneszent.
Evaneszente Wellen spielen eine wichtige Rolle bei den Türen von Mikrowellen, dem Tunneleffekt und der Totalreflexion.
Wer darüber mehr lernen möchte, kann hier nachsehen:
https://physikkursq3lichtundquanten.blogspot.com/p/tunneleffekt-und-totalreflexion.html
Hier ist auch der Link zu einem Experimentalvortrag von mir zu diesem Thema.
Das Video ist auch hier auf dieser Homepage unter Physik und Videos verlinkt.
Das war das letzte Beispiel zu diesem Typ von DGL.
Im nächsten Post veranschaulichen wir DGL durch Richtungsfelder.