Zyklische Gruppe der Ordnung 3:
Diese Gruppe haben wir erhalten aus der Drehgruppe eines gleichseitigen Dreiecks:
D0 = Drehung um 0° = n
D120 = Drehung um 120° = a
D240 = Drehung um 240° = b
Wer will, kann sich jetzt die Gruppentafel mit den Drehsymbolen aufschreiben. Aber die Darstellung mit n, a und b ist einfacher...
Hier nochmal die beiden, von der Struktur her identischen, Verknüpfungstafeln:
Wir können die Drehungen auch noch abstrakter beschreiben:
D0: A wird auf A, B auf B und C auf C abgebildet...
D120: A auf B, B auf C und C auf A
D240: A auf C, B auf A und C auf B
Die Drehungen vertauschen also einfach nur die Reihenfolge der Anordnung von ABC zu BCA und CAB.
Eine solche Vertauschung nennt man Permutation.
Es ist üblich, Permutationen durch Klammern oder einfach nur durch die neue Reihenfolge darzustellen:
So wie man die Drehungen des Dreiecks hintereinander ausführen kann, so kann man auch Permutationen hinereinander ausführen:
Dazu benennen wir sie wie folgt:
n ist neutral, es wird nicht getauscht,
Nun führen wi a und b hintereinander aus:
a # b bedeutet:
a macht 1 zu 2, 2 zu 3 und 3 zu 1
b macht aus der erhaltenen 1 eine 3, aus der durch a erhaltenen 2 eine 1 und aus der erhaltenen 3 eine 2
Das kann man sich hintereinander so hinschreiben:
1 2 3
2 3 1
1 2 3
Wir erhalten wieder n. Das sagen uns auch die Verknüpfungstafeln. Diese drei Permutationen n, a und b bilden logischerweise ja eine Gruppe.
Zum Nachdenken: Drei Elemente A B C liefern aber mehr Permutationen: Für das erste habe ich 3 Möglichkeiten, für das zweite dann noch zwei und für das dritte bleibt nur eine übrig. 3 Elemente lassen sich also auf 6 verschiedene Arten vertauschen (permutieren).
Die Anzahl der Permutationen von n Elementen ist n! = n*(n-1)*(n-2)*...*3*2*1
(n! liest sich als n Fakultät)
Da 3! = 3*2*1 = 6 ist, muss es noch mehr als die oben beschriebenen Permutationen geben.
Man kann sich ja alle 6 mal aufschreiben. Wie wär es mit der Verknüpfungstafel und der Frage, ob sie eine Gruppe bilden?
Da kommen wir auch bald zu...
Nun kann ich unsere weitere Strategie vorstellen:
Permutationen kann man auch durch Hintereinanderausführung verknüpfen. Wir kommen zu den Permutationsgruppen, diese werden auch als symmetrische Gruppen bezeichnet. Sie spielen in der Elementarteilchenphysik eine große Rolle.
Und mit den Permutationsgruppen können wir alle endlichen Gruppen beschreiben: jede endliche Gruppe ist strukturgleich zu einer Untergruppe einer Permutationsgruppen.
Dazu müssen wir noch lernen, was strukturgleich und was Untergruppe bedeutet. Aber diese Begriffe erklären sich fast aus sich heraus.
Wenn wir das geschafft haben, verstehen wir die Struktur aller endlichen Gruppen, die es gibt.
Naja, und in den unendlichen Gruppen kennen wir uns eh schon aus, in denen rechnen wir ja...