In dem Post machen wir jetzt etwas Physik, weil die Physiker/innen kennen die Lösung unser DGL dQ/dt = - k*Q nicht als Q(t) = Qo* exp(-k*t) sondern als
Q(t) = Qo * exp(-1/(R*C) * t) (1)
Dabei ist R der Widerstand über den der Kondensator sich entlädt und C die Kapazität des Kondensators. C ist die Größe, die in Farad gemessen wird. Sie ist durch die berühmte Gleichung Q = C*U definiert:
Die auf dem Kondensator sitzende Ladung Q ist proportional zur angelegten oder vom Kondensator erzeugten Spannung U. C ist die Proportionalitätskonstante, die angibt, welche Ladungsmenge man pro Volt auf den Kondensator bekommt.
Wer darüber noch mehr wissen will (oder wiederholen will) kann hier alle Infos auf meinem Q2-Blog nachlesen, da ist auch ein Video über ein kleines Experiment:
https://lkphysik2020corona.blogspot.com/p/blog-page_24.html
Wir müssen also zeigen, dass unsere Konstante k für die Entladung eines Kondensators der Kapazität C über einen Widerstand R den Wert k = 1/(R*C) hat.
Dazu differenziert man Gl.(1) und erhält eine Gleichung für den Verlauf des Entladestroms I(t), denn dQ/dt = I.
Qo bleibt als konstanter Faktor erhalten!
(-k) kommt als Faktor durch die Kettenregel dazu (innere Ableitung).
Vor der e-Funktion muss die maximale Stromstärke beim Beginn der Entladung (t=0) stehen.
Für den Betrag gilt somit : Io = Qo * k
Fassen wir den Kondensator zu Beginn der Entladung als Spannungsquelle der Spannung Uo auf, so erzeugt er den Strom Io über den Widerstand R = Uo/Io.
Nun haben wir zwei Gleichungen für Io, die wir gleichsetzen können. Das Qo müssen wir noch durch C*Uo ersetzen und nach k auflösen.
Wir erhalten k = 1/(R*C).
Hier kann man das noch mal nachvollziehen:
Anschauliche Deutung:
k beschreibt, wie schnell sich der Kondensator entlädt. k ist ja der Kehrwert der e-tel Wertszeit Te (Zeit in der die Ladung auf Q/e abgenommen hat, Achtung e ist hier die Basis des natürlichen Logarithmus ln, nicht die Elementarladung!).
Also gilt k = 1/Te = 1/(R*C).
Das können wir direkter schreiben: Te = R*C.
Und jetzt ist alles klar:
- Je größer der Widerstand R ist, über den sich der Kondensator entlädt, desto länger dauert das. Logisch, da der größere Widerstand ja den Stromfluss behidnert.
- Je größer die Kapazität des Kondensators ist, desto länger dauert die Entladung. Logisch, da wo mehr Platz ist, will man weniger schnell weg...sagen sich die Elektronen...
Das kennt ihr vom Nachleuchten der Fahrradbeleuchtung. Da nutzt man Kondensatoren sehr hoher Kapazität, die während des Strampelns aufgeladen werden.
Wir werden jetzt sehr schnell zu einer graphischen Veranschaulichung von DGLs kommen, dem Richtungsfeld.
Dann möchten ich euch die Differenzialgleichungen von Schwingungen, Wellen und stehenden Wellen vorstellen.
Die Lösungen können wir leicht raten.
Dann sollten wir Ende der Woche alle Inhalte besprochen haben, die auch für Abiturienten eines Physik LKs wichtig sind.
Danach besprechen wir noch ein weiteres Lösungsverfahren für sog. homogene und inhomogene DGLs.