Post 12: Zerfall ist Zerfall! Inflation ist Inflation!

Zuerst die Lösung vom letzten Post:


Es sollte gezeigt werden, dass die e-tel-Wertszeit gleich dem Kehrwert der Zerfallskonstante ist. Nach Ablauf der e-tel-Wertszeit ist von einer Ausgangsmenge nur noch 1/e also 1/2,7, also etwa ein Drittel, vorhanden.


Auch hier kann man noch eine kleine Aufgabe nachschieben:

Zeige, dass bei einer HWZ von 17 Tagen eine e-tel Wertszeit von 24,5 tTagen vorliegt.

Ist Dir anschaulich klar, warum die e-tel Wertszeit immer länger als die HWZ sein muss?


Eine Gleichung für alle Fälle (...fast...)


Was meine ich mit dem Titel?

Es gibt sehr viele Erscheinungen und Abläufe, die durch die Differenzialgleichung der Radioaktivität beschrieben werden.

Deshalb notiere ich sie einmal ganz allgemein:


Wir nehmen als Variable x statt t und als Funktion y(x).


Dann liefert die Differenzialgleichung


dy(x)/dx = - k * y(x) immer die Lösungsfunktion y(x) = yo * exp(-k*x)


Entsprechend sieht man sofort, dass die Differenzialgleichung


dy(x)/dx = + k*y(x) die Lösungsfunktion y(x) = yo* exp(k*x) besitzt.


Entscheidend ist: De Änderung dy/dx ist proportional zum Wert y.


Nehmen wir dafür mal zwei typische Beispiele:


Kosmische Expansion:

Die Expansion ist keine Ausdehnung irgendwo hinein, sondern die Entstehung von neuem Raum durch die Dunkle Energie. Da Dunkle Energie im Raum sitzt (mehr wissen wir von ihr nicht, was uns aber nicht davon abhält eine DGL aufzustellen), erzeugt also der Raum umso mehr Raum je größer er ist.

Die zeitliche Wachstumsrate des Raumes ist also proportional zum Raum selbst.

Damit kann man für den Radius R des Universums (oder den mittleren Abstand zweier Galaxien) unsere bekannte DGL hinschreiben:


dR(t)/dt = H * R(t).


Natürlich muss man hier wieder die Zeit t als Variable nehmen. Die Porportionalitätskonstante ist hier die berühmte Hubble-Zahl, die angibt um wieviel Prozent ein gegebenes Volumen pro Sekunde zunimmt [H = (dR/R)/dt zeigt, dass die Hubblezahl nichts mit einer Bewegung zu tun hat, sondern eine Prozentzahl pro Sekunde ist].

Ein solches Universum expandiert exponentiell. Bei unserem Kosmos war das ganz am Anfang der Fall (dann kam eine abbremsende Kraft durch die Gravitation dazu). Das nennt man den Urknall bzw. die Inflation.Und es wird wieder so am Ende sein, wenn wegen der großen Abstände die Gravitation keine Bedeutung mehr hat und die Dunkle Energie wieder Überhand gewinnt.

Am Anfang und Ende expandiert der Kosmos also exponentiell, beschrieben durch unsere DGL.

Übrigens: 1/H ist dann die e-tel Wertszeit. Also nach 1/H Sekunden hat sich der Kosmos auf das e-fache ausgedehnt.


Exponentielles Wachstum, nach mathe online


Entladung eines Kondensators:

Ein Kondensator speichert Ladungen. Wenn er sich entlädt, verringert sich seine gespeicherte Ladung Q pro Sekunde um dQ/dt.

Wir lassen den mit der Spannung Uo auf die Ladung Qo geladenen Kondensator sich über einen Widerstand R entladen.


nach Leifiphysik


dQ/dt, also Ladungsmenge pro Sekunde, nennt man auch Stromstärke I = dQ/dt.


Auch hier gilt: Je mehr Ladungen Q auf einem Kondensator sitzen, desto mehr kann er abgeben (dQ/dt ist größer).

Es gilt also wieder die DGL:

dQ/dt = - k * Q

Auch hier ist uns schon die Lösung klar:


Q(t) = Qo * exp(-k*t).


Trägt man Q(t) gegen t auf, so erhält man die bekannte Kurve für dne exponentiellen Abfall:



nach Leifiphysik


Wir müssen uns nur fragen, was die Größen Qo und k hier für eine Bedeutung haben.

Ihr könnt ja mal darüber nachdenken...

Im nächsten Post erkläre ich es.