Und nun kommen wir zu den restlichen Aufgaben von Post 10:
Die Kleinsche Vierer Gruppe ist die einzige nichtzyklische Gruppe mit 4 Elementen. Sie ist außerdem eine abelsche Gruppe.
Die folgende Animation erklärt die Entwicklung der Verknüpfungstafel:
Bei Gruppen der Ordnung 3 haben wir nur eine einzige Struktur aufbauen können.
Bei Gruppen der Ordnung 4 gibt es eine zweite, zyklische Struktur (Aufgabe 4):
Die Animation erklärt, wie man das macht.Auch diese Gruppe ist eine abelsche Gruppe.
Um deutlich zu machen, dass wir bei vier Elementen wirklich zwei sich vollkommen unterscheidbare Strukturen aufgebaut haben, zeige ich die Darstellung von R.Kahn (wikicommon). Das neutrale Element hat er schwarz unterlegt:
Zyklische Gruppenstruktur der Ordnung 4:
Nichtzyklische Gruppenstruktur der Ordnung 4:
In beiden Fällen kann man schön erkennen, dass die Gruppen abelsch sein müssen. Die Farben sind an der Diagonalen von links oben nach rechts unten gespiegelt.
Wir werden die Eigenschaften dieser Struktur bald noch etwas näher untersuchen. Im nächsten Post aber möchte ich endgültige reale geometrische Symmetrien dazu vorstellen. Es wird um Dreiecke, Rechtecke und Quadrate gehen.