Zuerst die Lösung der Aufgabe aus Post 10:
Es sollte gezeigt werden, dass die beiden Formeln für den radioaktiven Zerfall mit der Basis 1/2 und der Basis e gleichwertig sind.
Dazu muss man einige schon benutzte Tricks anwenden:
- a^x = (exp(ln a)^x, da exp und ln sich aufheben
- (a^x)^y = a^(x*y), da das Potenzieren einer Potenz gleich dem Multiplizieren der Exponenten ist.
Dann kann man leicht die beiden Formeln ineinander überführen, wenn man für
k = ln2/Thwz
einsetzt:
Und nun wollen wir unsere Differenzialgleichung dN(t)/dt = - k*N(t) direkt lösen. Die Methode nennt man Trennung der Variablen:
Für uns ist die Funktion N(t) unbekannt und natürlich ist auch die Zeit t eine Variable.
So schreiben wir alles mit N auf die linke Seite und alles mit t auf die rechte Seite:
dN(t)/N(t) = - k* dt oder vereinfacht dN/N = - k*dt
Wir haben ja in unserem Exkurs plausibel gemacht, dass man die Differenziale dN und dt als Zahlen auffassen kann. Also formt man die DGL so um, wie wir es gewohnt sind.
Ich denke, es ist klar, dass man dieses Verfahren nicht immer durchführen kann. Wir werden noch einige wenige andere Verfahren kennenlernen, aber meistens bleibt es dabei: Die meisten DGL kann man nicht einfach so lösen...man muss raten oder Näherungsverfahren nutzen.
Was bringt es, die Variablen auf beide Seiten zu trennen?
Nun kann ich beide Seiten getrennt aufsummieren, also integrieren. Für die linke Seite erhalte ich den natürlichen Logarithmus als Stammfunktion (so ist der definiert...da gibt es nichts zu beweisen...) und rechts ist es ganz klar: die vielen kleinen dt`s aufaddiert ergeben den Zeitraum t.
Jetzt muss ich nur noch die Differenz der Stammfunktionen bilden: ln N(t) - ln No und diese nach den Logarithmusregeln umformen in ln[N(t)/No].
Dann werden beide Seiten in den Exponenten von e erhoben und man hat die gesuchte Formel.
Hier ist alles zusammengestellt:
Das war die erste Lösung eurer ersten DGL.
Jetzt können wir auch noch einmal die Halbwertszeit HWZ bestimmen:
No ist ja nach Ablauf der HWZ auf No/2 geschrumpft.
Das setzen wir in die Formel ein, bilden den ln, erinnern uns dass ln(1/2) = ln 1 - ln 2 = - ln2 ist und erhalten die bekannte Formel für die HWZ.
Aufgabe:
Es gibt auch die e-tel Wertszeit.
Könnt ihr euch vorstellen, was damit gemeint ist?
Zeigt, dass die e-tel Wertszeit gleich dem Kehrwert unserer Konstante k ist.
Passt ja auch mit den Einheiten, denn k hat "pro Sekunde" als Einheit und der Kehrwert davon ist die Einheit "Sekunde".
Lösung im nächsten Post, in dem es dann auch um die Anwendung auf Kondensatoren geht.