Post 11: Klassifizierung der Gruppen mit Ordnung 3

Zuerst: Wir nennen bei endlichen Gruppen die Anzahl der Elemente einer Gruppe die Ordnung der Gruppe: ord(G).

Kommen wir zu den Gruppen der Ordnung 3:

In der ersten Aufgabe war das Neutralelement in der Verknüpfungstafel vorgegeben. Durch die Besetzung der Diagonalen mit n wird verhidnert, dass es eine zyklische Gruppe gibt. Wenn man jetzt die restlichen Plätze besetzt, ist klar, dass die erste Zeile und die erste Spalte so aussehen müssen, da n ja das Neutralelement ist.

Die übrig gebliebenen Plätze kann man dann nicht besetzen. Egal, was man auswählt, entweder a oder b ist dann in einer Zeile oder Spalte doppelt. Dann wären Gleichungen nicht eindeutig oder gar nicht lösbar. Es kann dann keine Gruppe sein.


Wer das mit der nicht vorhandenen Lösbarkeit der Gleichungen nachvollziehen möchte, sieht hier Hinwerise:




Vereinfacht kann man sich merken: In jeder Zeile und jeder Spalte muss bei einer Gruppe jedes Element genau einmal auftauchen.

Fazit:

Es gibt nur eine Gruppenstruktur mit 3 Elementen, nämlich die zyklische Gruppe der Ordnung 3.