Lösung der Aufgabe aus Post 9:
Bei endlich vielen Elementen kann man anhand der Verknüpfungstafel alles leicht entscheiden:
Ja, es liegt eine Gruppe vor. Wir brauchen nur die folgenden drei Aspekte zu untersuchen:
Im Inneren der Verknüpfungstafel tauchen auch nur die drei gegebenen Drehungen D0, D120 und D240 auf, in jeder Zeile und jeder Spalte jeweils genau nur einmal.
D0 ist das neutrale Element, denn D0 reproduziert jeweils eine Zeile und eine Spalte. Auch logisch gesehen ist da klar: Eine Drehung um 0° bewirkt nichts...
Jedes Element hat ein inverses Element, denn das Neutralelement D0 kommt in jeder Zeile und Spalte genau einmal vor.
Wir wollen jetzt die Angaben mal von einem Dreieck lösen und bezeichnen deshalb D0 mit n, D120 mit a und D240 mit b.
Erkennt ihr eine Besonderheit dieser Gruppe?
Schaut euch mal die Abfolge dieser der drei Zeilen an:
nab
abn
bna
Die Elemente werden immer um eins durchgeschoben....das gilt auch für die Spalten.
Eine solche Gruppe nennt man zyklisch.
Und nun gibt es wieder was zum Knobeln:
Aufgabe 1:
Könnt ihr die folgende Verknüpfungstafel zu einer Gruppe ergänzen?
Was dahinter steht, ist vollkommen egal...versucht nur die Buchstaben a und b so einzusetzen, dass eine Gruppe entsteht.
Gibt es also eine nichtzyklische Gruppe aus 3 Elementen?
Nun erweitern wir das auf 4 Elemente.
In den nächsten Posts werden wir reale Objekte und Vorgänge kennenlernen, die dazu passen. Hier aber arbeiten wir mit ganz allgemeinen Strukturen. Die Struktur an sich ist es, die in der Gruppentheoprie interessiert.
Aufgabe 2:
Könnt ihr die Verknüpfungstafel zu einer Gruppe ergänzen?
Das ist dann die einzige Möglichkeit für eine nichtzyklische Gruppe aus vier Elementen. Sie heißt auch Kleinsche Vierergruppe.
Es ist die kleinste nichtzyklische Gruppe.
Ist sie eine abelsche Gruppe, d.h. gilt das Kommutativgesetz?
Felix Klein (1849 - 1925) war ein deutscher Mathematiker, der in Göttingen gewirkt hat und 1884 diese Gruppenstruktur entdeckt hat.
Aufgabe 3:
Könnt ihr auch eine Verknüpfungstafel für eine zyklische Gruppe mit 4 Elementen aufbauen?