Wir wollen hier zwar Mathematik betreiben, aber nicht gleich Definitionen und Sätze aufstellen. Deshalb möchte ich einfach erst einmal etwas über Gruppen erzählen:
Gruppen benutzt man, wenn man Strukturen und Ordnungen von Dingen und ihren Beziehungen beschreiben will.
Dabei ist es wichtig, dass man die Dinge und ihre Beziehungen untereinander betrachtet.
Nehmen wir einmal an, ich habe als Dinge Dreiecke. Eine Menge von Dreiecken bildet keine Gruppe im mathematischen Sinn, denn es fehlen die Beziehungen.
Als Beziehungen könnten wir angeben: "hängen aneinander".
Ich habe mal ein Beispiel aufgezeichnet:
Oben sehen wir die Menge aus drei Dreiecken. Die Beziehung (Verknüpfung) habe ich mit * bezeichnet und ein Beispiel unten hingezeichnet.
Wenn ich zwei Dreiecke so verknüpfe, entsteht eine neue Figur und das ist offensichtlich kein Dreieck.
Es macht wenig Sinn Strukturen zu untersuchen, deren Verknüpfung aus diesen Strukturen ausbricht.
Nehmen wir ein sinnvolleres Beispiel: Zahlen
Die Menge M = {1,3,5} soll als Verknüpfung die normale Addition haben "+".
1+3 = 4, die 4 aber ist kein Element aus M.
Wir haben ein ähnliches Problem wie bei den Dreiecken.
Das hier aber können wir leicht lösen.
Wir nehmen die Menge aller natürlichen Zahlen N. Wenn wir hier zwei Zahlen addieren, dann erhalten wir wieder eine natürliche Zahl.
Wir sagen: Die Menge der natürlichen Zahlen ist abgeschlossen bezüglich der Addition.
Und genau solche Dinge wollen wir in Zukunft betrachten:
Wenn ich zwei Dinge aus der vorgegebenen Menge verknüpfe, dann soll wieder so ein Ding aus dieser Menge entstehen. Die Menge wollen wir G nennen, die Verknüpfung allgemein mit # bezeichnen. Beides müssen wir gemeinsam betrachten, wir bilden also (G,#).
Beispiel: G=N und # sei + liefert uns (N,+) als Untersuchungsobjekt.
Die runden Klammern geben nur an, dass wir die Menge nur bezüglich dieser Verknüpfung untersuchen wollen.
Die Menge der natürlichen Zahlen bezüglich ihrer Addition (kurz: (N,+)) ist aber keine Gruppe. Denn an Gruppen stellen wir höhere Anforderungen als einfach nur die Abgeschlossenheit.
Darüber mehr im nächsten Post.