P25: Ein Jahrhundert-Projekt

Zum Abschluss dieses Blogs möchte ich noch über eines der umfangreichsten Projekte der Mathematik des 20. Jahrhunderts berichten: Die Klassifikation aller endlichen Gruppen.


Dazu müssen wir doch die Nebenklassen kurz besprechen:

Im folgenden lasse ich jetzt immer die Verknüpfung # weg, weil die immer gleich bleibt.


Wir haben eine Untergruppe U zu einer Gruppe G. Dann suchen wir uns ein Gruppenelement g und verknüpfen es mit jedem Element u aus U. Wir erhalten eine neue Menge. Je nach Reihenfolge der Verknüpfung spricht man von Links-Nebenklasse LNK oder Rechts-Nebenklasse RNK.


Abgekürzt ist es üblich, das so zu notieren:


Sei U eine Untergruppe von der Gruppe G und g sei ein Element aus G.

Dann nennt man die Menge g#U LNK und die Menge U#g RNK.


Damit kann man die Gruppe in voneinander verschiedene Klassen zerlegen.

Wer will, kann das ja mal mit den Verknüpfungstafeln durchprobieren und alle Nebenklassen zu einer Untergruppe notieren.


Es gilt dabei die Regel:


Anzahl der LNK * Ordnung der Untergruppe U = Ordnung der Gruppe G.


(Wir haben mal den Satz von Lagrange erwähnt, nach dem die Ordnung einer Untergruppe immer Teiler der Gruppenordnung sein muss).


Nun kommen wir zu den Normalteilern:

Eine Untergruppe U ist ein Normalteiler der Gruppe, wenn ihre LNK und RNK übereinstimmen: g#U = U#g.

Es versteht sich von selbst, dass jede Untergruppe einer abelschen Gruppe ein Normalteiler ist (da gilt ja das Kommutativgesetz).


Jede Gruppe hat immer zwei Normalteiler, nämlich sich selbst und die Untergruppe {n}, die nur das neutrale Element enthält. Das sind die trivialen Normalteiler.


Kennen wir das?

Eine Primzahl hat nur sich und die 1 als Teiler.

Mit Primzahlen kann man alle Zahlen aufbauen, jede Zahl besitzt eine eindeutige Primfaktorzerlegung.


Und so geht es auch in der Gruppentheorie.

Gruppen, die nur triviale Normalteiler haben, nennt man einfache Gruppen.


Kennt man diese einfachen Gruppen, dann kennt man alle Gruppen...

Im letzten Jahrhundert waren deshalb hunderte von Mathematiker/innen damit beschäftigt alle endlichen einfachen Gruppen zu klassifizieren. Das Programm gilt, bis auf einige Lücken, im wesentlichen als abgeschlossen.


Jede endliche Gruppe kann man aus den einfachen Gruppen zusammensetzen. Insofern ist der Vergleich mit den Primzahlen ganz sinnvoll.

Aber das ist bei Gruppen nicht eindeutig: Das Produkt der Primzahlen legt eindeutig eine Zahl fest: 1*2*3*5 ergibt nur 30 und 30 kann man auch nur so in Primfaktoren zerlegen.

Aber unterschiedliche Gruppen können auf die gleiche Art und Weise aus einfachen Gruppen zusammengesetzt sein.


Damit endet dieser Blog.


In den Osterferien 2021 gibt es sicher wieder einen Mathe-Workshop...ob vor Ort im SFN oder wieder als Blog?

Warten wir es ab...


März 2021

Wird eine dritte Welle kommen?

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