P24: Abbildungen können treu sein...

Darunter versteht man, dass sich eine bestimmte Eigenschaft durch die Abbildung nicht ändert.

Die allgemeinste Forderung ist die Geradentreue: Geraden gehen bei der Abbildung wieder auf Geraden über. Diese Abbildungen nennt man kollineare Abbildungen.

Die Menge aller kollinearen Abbildungen bildet bezügl. ihrer Hintereinanderausführung eine Gruppe.

Nun gehen wir zu den Untergruppen über.

Jede weitere Untergruppe bewahrt eine weitere Eigenschaft:

Affine Abbildungen:

Wir werden gleich mehr darüber erfahren.

Bei diesen Abbildungen gehen zueinander parallele Geraden auch wieder auf zueinander parallele Geraden über. Sie sind nicht nur geradentreu, sondern auch parallelentreu.

Ähnlichkeitsabbildungen:

In dieser Untergruppe kommt die Winkeltreue hinzu. Bei zueinander ähnlichen Figuren stimmen die Winkel überein.

Die letzte Untergruppe ist die Menge der Kongruenzabbildungen. Sie führen Figuren in deckungsgleiche Figuren über. Da kommt dann die Längentreue hinzu.

Kongruenzabbildungen sind also längentreu, winkeltreu, parallelentreu und geradentreu.


Da affine Geomatrie heute kaum noch unterrichtet wird, hier ein paar Hinweise zu affinen Abbildungen:

Es gibt affine Streckungen: Einen Kreis kann man durch eine affine Streckung (oder Stauchung) in eine Ellipse überführen.

Dabei liegt der Bildpunkt P` auf dem Lot des Punktes P zur Affinitätsachse a. Der Streckfaktor k bestimmt, ob der Abstand zur Achse verkleinert oder vergrößert wird.


nach Funkkolleg Mathematik

Es gibt noch affine Scherungen. Weiterhin braucht man die Affinitätsachse a. Von P aus fällt man das Lot auf a und dreht dann das Lot um den Lotfußpunkt um den Scherungswinkel und erhält so "auf gleicher Höhe" den Bildpunk P`.


nach Funkkolleg Mathematik

Eine beliebige affine Abbildung erhält man durch eine Hintereinanderausführung endlich vieler affiner Streckungen und Scherungen.


Insgesamt sehen wir, wie die Gruppenstrukturen und die Untergruppen die Geometrie ordnen können.



Februar 2021

Mit rechtzeitigem Nachdenken und wissenschaftlicher Orientierung kann man Probleme bewältigen und einen sicheren Weg aus der Krise finden.

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