P23: Ähnlichkeiten

In der Schule behandelt man nicht nur kongruente Dreiecke sondern auch ähnliche Dreiecke. Diese sind formgleich, haben aber durchaus unterschiedliche Größen. Wichtig sind dabei die Strahlensätze, die oft in der Schule genutzt werden.




Die Strahlensätze stammen letztlich aus zentrischen Streckungen. Verbindet man alle Punkte mit ihren Bildpunkten, so schneiden sich die Verlängerungen im Streckzentrum Z.

Zentrische Streckungen sind: parallelentreu, geradentreu und winkeltreu.

Das bedeutet: Eine Gerade wird in eine Gerade abgebildet, Winkel bleiben erhalten, und was parallel verläuft, bleibt auch parallel.

Das ist eigentlich ganz trivial.

Jeder Beamer macht letztlich eine zentrische Streckung. Dadurch wird das Bild größer, aber nicht verzerrt. Ein Gartenzaun bleibt als solcher erkennbar.


k ist der Streckfaktor. Bei k<1 wird das Bild kleiner.(Animation wikipedia common)


Alle zentrischen Streckungen zum festen Zentrum Z bilden bezüglich ihrer Hintereinanderausführung eine Gruppe.

Überlegt mal, was das neutrale Element ist und wie man die inversen Elemente zu einer Streckung findet.

Übrigens ist diese Gruppe isomorph (strukturgleich) zur Gruppe (R+,*), d.h. der Menge der positiven reellen Zahlen mit der Multiplikation als Verknüpfung.


Ähnlichkeitsabbildung:

Jede Hintereinanderausführung von zentrischen Streckungen und Kongruenzabbildungen nennt man eine Ähnlichkeitsabbildung.

Die Menge der Ähnlichkeitsabbildungen bildet bezügl der Hintereinanderausführung eine Gruppe.

Die Kongruenzabbildungen bilden dazu eine Untergruppe.

Wir kennen das: Zueinander kongruente Dreiecke sind sich auch ähnlich, aber ähnliche Dreiecke müssen nicht kongruent zueinander sein.




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Februar 2021

Mit rechtzeitigem Nachdenken und wissenschaftlicher Orientierung kann man Probleme bewältigen und einen sicheren Weg aus der Krise finden.

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