Wur wollen nun zeigen, dass die Gruppentheorie in der Lage ist Ordnungsstrukturen der Geometrie zu beschreiben.
Dazu möchte ich die wichtigsten geometrischen Abbildungen charakterisieren:
Was ist eine Abbildung?
Bei einer geometrischen Abbildung wird jeder Punkt der Ebene genau einem anderen zugeordnet. Im Prinzip sind Abbnildungen also Funktionen in der Ebene. Abbildungen werden dadurch verknüpft, dass man sie einfach nacheinander ausführt.
Dadurch erhält man eine Gruppenstruktur: Das neutrale Element ist die Identität I, bei der jeder Punkt auf sich selbst abgebidlet wird.
Das inverse Element erhält man einfach durch Umkehren der Abbildungsvorschrift.
Ganz wichtig, z.B. auch in der Chaosphysik, sind die Begriffe Fixpunkt und Fixelement:
Wir ein Punkt auf sich selbst abgebildet, so ist er ein Fixpunkt dieser Abbildung.
Wird irgendein geometrisches Gebilde mit sich selbst zur Deckung gebracht, so nennt man es ein Fixelement.
Achsenspiegelung:
Die Ebene wird an einer Geraden gespiegelt. Alle Punkte auf der Geraden sind Fixpunkte.
Die Spiegelgerade selbst und alle zu ihr senkrechtverlaufenden Geraden sind Fixelemente.
Abb: Didaktik der Mathematik, Uni Saarland
Achsenspiegelungen kann man hintereinander ausführen:
Funkkolleg Mathematik
Drehung:
Schließen zwei Geraden einen Winkel ein und ich mache zwei Achsenspiegelungen nacheinander an diesen Geraden, so erhalte ich eine Drehung um den doppelten Winkel.
Der Schnittpunkt der Geraden ist dann der Drehpunkt. Er ist der einzige Fixpunkt (außer bei einer Drehung um 0°).
Bitte nicht verwechseln: Fixpunkte sind keine neutralen Elemente!
Man zeichne dazu einmal eine eigene Skizze.
Punktspiegelung:
Stehen zwei Geraden senkrecht zueinander und ich mache zwei Achsenspiegelungen nacheinander an diesen Geraden, so entsteht eine Punktspiegelung am Schnittpunkt der Geraden. Das ist eine Drehung um 180°.
Auch hier sollte man sich eine Skizze machen.
Verschiebung:
Verlaufen die beiden Spiegelgeraden im Abstand d parallel zueinander, so erhalte ich bei der Hintereinanderausführung von Achsenspiegelungen eine Verschiebung um die Strecke d/2 senkrecht zu den beiden Geraden.
Funkkolleg Mathematik
Verknüpfung von Achsenspiegelungen:
Bei der Verknüpfung von zwei (oder 4,6,8...)Achsenspiegelungen, kann nur folgendes passieren:
Geraden identisch: Es entsteht die identiche Abbildung.
Geraden parallel: Es entsteht eine Verschiebung
Geraden senkrecht zueinander: Es entsteht eine Punktspiegelung (Drehung um 180°)
sonst gibt es eine Drehung
Wenn man drei (oder 5,7,9...) Achsenspiegelungen verknüpft, gibt es nur zwei Fälle:
- haben die drei Spiegelachsen einen gemeinsamen Schnittpunkt, so entsteht wieder eine Achsenspiegelung.
- ansonsten gibt es eine Gleitspiegelung (Achsenspiegelung mit Verschiebung).
Nun können wir die Kongruenzabbildungen einführen:
Achsenspiegelungen und beliebig viele Verknüpfungen verändern die Form von Figuren nicht, d.h. Längen und Winkel bleiben erhalten. Die ursprüngliche Figur ist kongruent zur Bildfigur.
Das nennt man eine Kongruenzabbildung.
Kongruenzabbildungen entstehen also durch Verknüpfungen von Achsenspiegelungen.
Dabei sind Verschiebung, Drehung, Punktspiegelung und Identität orientierungstreu, d.h. die Anordnung der Eckpunkte eines Vierecks bleibt erhalten.
Achsenspiegelungen und Gleitspiegelungen sind nicht orientierungstreu.
Folgende Abbildungen bezüglich der Hintereinanderausdführung bilden eine Gruppe:
- Menge aller Kongruenzabbildungen
- Menge aller orientierungstreuen Kongruenzabbildungen (ist auch eine Untergruppe der Kongruenzabbildungen)
- Menge aller Drehungen um einen Punkt
- Menge aller Verschiebungen
Können die nichtorientierungstreuen Abbildungen eine Gruppe bilden?
Nein, denn eine Achsenspiegelung verändert die Orientierung, zwei Achsenspiegelungen hintereinander ausgeführt dagegen nicht. Die Menge der nichtorientierungstreuen Abbildungen ist also noch nicht mal abgeschlossen.
Abschließend zu diesem Workshop folgen noch drei Posts zu den nichtkongruenten Abbildungen und zur Klassifizierung der Gruppen durch sog. "einfache Gruppen"