P20: Permutationsgruppen und Isomorphie

In den Posts P13 bis P15 haben wir schon Permutationen kennengelernt.

Wir wollen hier noch einmal ganz konkret die Permutationsgruppen S1, S2 und S3 aufbauen:

Von Permutationen spricht man, wenn man bei einer Anordnung von n Elementen die Reihenfolge vertauscht. Dafür gibt es n! = n*(n-1)*(n-2)* ... *2*1 Möglichkeiten.


S1 besteht aus genau einem Element, das muss das neutrale Element sein. Da gibt es nichts zu vertauschen, da bleibt alles beim n...trotzdem aber ist die Menge {1} mit der Verknüpfung # (vertauschen der Reihenfolge) eine Gruppe.

Wir bezeichnen die zu vertauschenden Elemente mit Zahlen und die Vertauschungen selbst mit kleinen Buchstaben:

Es gibt nur das neutrale Element



S2 = {1,2} besitzt 2 Vertauschungsmöglichkeiten:


Abgekürzt können wir auch schreiben: n = 1 2 und a = 2 1

Die Rechenregeln sind einfach: n#a = a = a#n, da n das neutrale Element ist.

Und wendet man zweimal die Vertauschung a an, so heben sich die beiden Vertauschungen auf:

a#a = n

Damit dürfte die Verknüpfungstafel leicht sein.


Und nun kommen wir zu den Permutationen von 3 Elementen S3 ={1,2,3}.

Wir müssen uns jetzt auf die Bezeichnung einigen(angegeben ist die abgekürzte Schreibweise):

n = 1 2 3

a = 2 3 1

b = 3 1 2

c = 2 1 3

d = 3 2 1

e = 1 3 2


Aufgabe: Bitte stellt die Verknüpfungstafel zusammen.


Dazu müsst ihr auf drei Dinge achten:

Das neutrale Element reproduziert die Reihenfolge. Damit lassen sich Zahlen und Spalten sofort hinschreiben

Einige Verknüpfungen müsst ihr wirklich ausrechnen: Was ist z.B. a#b?

Andere Verknüpfungen könnt ihr dadurch finden, dass ja jedes Element genau einmal in jeder Spalte und jeder Zeile vorkommen muss.

Andere Möglichkeiten gibt es nicht, da S3 nichtzyklisch ist.

Zum Schluss möchte ich noch den Satz von Cayley angeben:

Jede endliche Gruppe der Ordnung n ist isomorph zu einer Untergruppe von Sn.


Sucht einmal alle Untergruppen von S3 und vergleicht sie mit den uns bekannten Gruppen mit 3 Elementen (also der Ordnung 3).


Was bedeutet Isomorphismus?


Wenn zwei Gruppen isomorph sind, dann bedeutet das zweierlei:


1) Ich kann jedem Element der einen Gruppe genau ein Element der anderen Gruppe zuordnen (man nentn das eine bijektive Zuordnung).

Dabei werden die beiden neutralen Elemente einander zugeordnet. Sind zwei Elemente der einen Gruppe zueinander invers, so sind es auch die zugeordneten Elemente.

2) Die Zuordnung ist "operationstreu", d.h. alles, was ich mit den Elementen der ersten Gruppe mache, kann ich so auch mit den zugeordneten Elementen machen.


Formal kann man das so angeben:

Ist A die Zuordnung der Elemente und sind a und b zwei Elemente der ersten Gruppe und x und y die beiden zugeordneten Elemente der zweiten Gruppe, so gilt:


A(a#b) = A(a)#A(b) = x#y


Das alles ist viel einfacher zu merken:

Sind zwei Gruppen zueinander isomorph, so stimmen ihre Verknüpfungstafeln vollkommen überein und man braucht sich nur mit einer Gruppe zu beschäftigen.

Durch Isomorphismus kann man also alle Gruppen in Klassen zueinader strukturgleichen Gruppen einteilen.




März 2021

Wird eine dritte Welle kommen?

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