Dieses hochkomplexe Gebiet können wir hier nur anschneiden:
Eine besondere Bedeutung haben die sog. Lie-Gruppen, die 1870 von Sophus Lie eingeführt wurden, allerdings zur Untersuchung von Symmetrien bei Differenzialgleichungen.
Wir haben bisher Symmetrien untersucht, die nur bestimmte Drehungen beinhaltet haben (z.B. beim gleichseitigen Dreieck um 120° und 240° und 0°). Es gibt aber auch sog. koninuierliche Symmetrien. Diese werden durch die Lie-Gruppen beschrieben. Wenn zwei Gruppenelemente ganz dicht beieinander liegen, so liegt auch ihre Verknüpfung ganz in der Nähe.
Wenn ich einmal um 2° drehe, dann um 2,1°, so ist die Verknüpfung ebenfalls in diesem Bereich kleiner Winkel. Dadurch gelingt es , die Rechenoperationen des Differenzierens und Integrierens auf die Verknüpfung der Gruppenelemente anzuwenden.
Sophus Lie (1842-1899)
Die Gruppe SO(3) besteht aus allen Drehmatrizen (O von orthogonal) mit der Determinante 1 (speziell S) der Größe 3x3. Zu dieser Lie-Gruppe gehört auch eine algebraische Struktur, die man mit dem normalen Raum identifizieren kann. Diese nennt man Lie-Algebra.
Das klingt logisch, denn eine 3x3-Matrix kann Punkte im Raum bezeichnen. Jede Spalte kann z.B. einen Koordinatenvektor darstellen.
Umgekehrt kann man in der Elementarteilchenphysik abstrakte Räume aus Quantenzahlen aufbauen.
Der Isospin beschreibt eine Symmetrie unter Wechselwirkungen der starken Kraft.
Verschiedene Elementarteilchen, wie p und n, verhalten sich unter der Einwirkung der starken Kraft sehr ähnlich.
Dazu führt man eine Isopinzahl I ein, die in Komponenten Ix, Iy und Iz zerlegt werden kann.
Für Protonen und Neutronen ist I = 1, aber ihre Komponenten in eine beliebige Isospin-Raum-Richtung Iz unterscheiden sich:
Für ein Proton ist Iz = +1/2 und für ein Neutron Iz=-1/2
Nun kann man I und Iz in einem Koordinatensystem eintragen (Isospin-Raum) und durch Drehungen im Isospinraum Protonen und Neutronen ineinander überführen.
Da gibt es keinerlei anschauliche Deutung für!
Die Menge aller Drehungen bildet bezüglich ihrer Hintereinanderausführung eine Gruppe.
Diese kann durch die Lie-Gruppe SU(2) beschrieben werden.
Das bedeutet:
Die Gruppe enthält 2x2-Matrizen. Das sind die Paulischen Spin-Matrizen, die man ursprünglich für Elektronenspin nimmt (daher der Name Isospin: Protonen und Neutronen spielen bei Isotopen eine Rolle und das wäre der isotopische Spin...). S bezeichnet wieder: Determinante aller Matrizen ist 1 und U sagt, dass es unitäre Matrizen sind. Das sind Drehmatrizen aber mit komplexen Zahlen als Elemente.
Zu dieser Lie-Gruppe SU(2) gibt es auch eine algebraische Struktur, die Lie-Algebra. In der kann man zeigen, dass die Größen I und Iz Erhaltungsgrößen unter der Wirkung der starken Kraft sind.
Es gibt also einen Erhaltungssatz des Isospins unter der starken Kraft.
Der ist relativ unbekannt, aber für den Aufbau unserer Welt mindetens genau so wichtig wie der Energie- und Impulserhaltungssatz.
Ein letzter Blick:
Für die Darstellung aller einfachen Baryonen (Proton und Neutron sind die bekanntesten) kann man die sog. Hyperladung Y = 2*(Q - Iz) gegen Iz auftragen (Q ist die normale elektrische Ladung, d.h. +1 für p und 0 für n).
Man rechne mal die Y-Werte für p und n nach...
Wieder gilt: Es gibt keine Veranschaulichung...aber in diesem abstrakten Hyperladungs-Isospin-Raum gibt es wieder symmetrische Figuren, die man durch Symmetriegruppen beschreiben kann...
In diesem Baryonen-Eigenschaftsraum entsteht eine symmetrische Struktur, die durch die Lie-Gruppe SU(3) beschrieben wird. Die erzeugenden Elemente dieser Gruppe haben Gell-Mann vor 80 Jahren zu den Quarks geführt...und ihm 1969 den Nobelpreis für Physik ermöglicht.
Ich denke, dieser sehr kurze Abstecher zur Anwendung der Gruppentheorie in der Elementarteilchenphysik sollte reichen. Wir wollen wieder mit anschaulicheren Beispielen weitermachen.