Ich möchte wenigstens andeuten, wie Gruppen in der Physik eingesetzt werden.
Spezielle Relativitätstheorie:
Hier werden Raum-Zeit-Transformationen beschrieben. Man hat an einem Ort (x,y,z) in einem Bezugssystem K zur Zeit t ein Ereignis. Das wird durch einen Vierervektor dargestellt.
Nun soll dieses Ereignis von einem relativ dazu mit der Geschwindigkeit v bewegten zweiten Bezugssystem K`aus beobachtet werden.
Ein zweiter Vierervektor (mit `an den Koordinaten) beschreibt das Ereignis aus dem anderen System K`heraus.
Der Übergang von K zu K`wird Lorentz-Transformation genannt. Das kann man mit vielen einzelnen Gleichungen hinschreiben oder durch eine Matrix (Zahlenschema) ausdrücken.
Diese Matrizen, die Übergänge zwischen zueinander mit konstanter Geschwindigkeit v bewegten Bezugssystemen beschreibt, nennt man Lorentzmatrizen.
Diese bilden für alle verschiedenen v -Werte die Elemente einer Gruppe. Als Verknüpfung wird die Hintereinanderausführung gewählt. Man wechselt also von K zu K`und von da zu K" usw.Der direkte Wechsel K zu K" ist auch eine Lorentztransformation, liegt also in der Gruppe.
Ganz praktisch gesagt: Ich kann vom Bahnsteig K in einen fahrenden Zug K`wechseln und von da in einen auf einem Parallelgleis vorbeifahrenden zweiten Zug K". Logischerweise kann ich vom Bahndamm K aus auch direkt in den zweiten Zug K" wechseln und dort Physik betreiben.
Hier beschreibt die Gruppenstruktur also die Struktur der Bezugssystemwechsel in der Speziellen Relativitätstheorie.
Besondere Bedeutung in der Physik besitzen die sog.Liegruppen, da gehen wir im nächsten Post drauf ein.