P16: Alle kleinen Gruppen

Ich möchte nur einen kurzen ergänzenden Überblick über die kleinen endlichen Gruppen geben:


Ordnung 1:

G = ({n},#) ist immer eine Gruppe. Die einzige Rechenregel ist n#n=n, n ist also zu sich selbst invers und auch das neutrale Element. Diese Gruppe ist zyklisch und abelsch.


Ordnung 2:

Die Gruppe muss aus zwei Elementen bestehen, eins muss das neutrale Element n sein.

Damit könnt ihr die Verknüpfungstafel zusammenstellen:

Sie entspricht der Menge aller Permutationen von zwei Elementen mit der Hintereinanderausführung als Verknüpfung. Diese Struktur nennt man auch S2 (2 eigentlich als Index). S2 ist die symmetrische Gruppe der Ordnung 2.



Wir lernen auch noch so nebenbei ein wichtiges Merkmal zyklischer Gruppen kennen:

Zyklische Gruppen können durch fortwährende Verknüpfung eines Elementes mit sich selbst erzeugt werden. Dieses Element ist dann das erzeugende Element der zyklischen Gruppe. Dabei ist es üblich die Potenzschreibweise zu verwenden. Die höchste Hochzahl bei der n entsteht, ist dann die Ordnung der Gruppe.


Ordnung 3:

Hier haben wir nur eine Gruppenstruktur gefunden.



Hier ist a das erzeugende Element: a, a#a = b, a#a#a=b#a = n


Ordnung 4:

Hier gibt es eine zyklische Gruppenstruktur:


Es gibt zwei erzeugende Elemente, nämlich a und c. Probiert es mal aus. b ist kein erzeugendes Element.

Die nichtzyklische Gruppenstruktur der Ordnung 4 ist die Kleinsche Vierergruppe. Das ist auch die kleinste nichtzyklische Gruppe, die es gibt.



Ordnung 5:

Hier gibt es nur eine Gruppenstruktur und die ist zyklisch. Sie hat auch nur ein erzeugendes Element. Ihr könnt ja mal die Verknüpfungstafel basteln...


Ordnung 6:

Hier gibt es wieder zwei verschiedene (man sagt nicht isomorphe) Gruppenstrukturen.

Einmal eine zyklische Gruppe...die Verknüpfungstafel kann man ganz schnell basteln:


Wie man leicht nachprüfen kann, gibt es zwei erzeugende Elemente, nämlich a und e.

Und nun kommen wir zur nichtzyklischen Gruppe der Ordnung 6:



Alle bisherigen Gruppen waren auch abelsch. Das ist die erste, und somit die kleinste, nicht abelsche Gruppe.

Sie hat die gleiche Struktur wie die Menge aller Permutationen von 3 Objekten (da gibt es auch 6 Stück) bezüglich der Hintereinanderausführung.

Wir nennen sie die symmetrische Gruppe der Ordnung 3: S3

Veranschaulichen kann man sie sich durch das Hintereinanderausführen sämtlicher Symmetrieabbildungen eines gleichseitigen Dreiecks:


Wir identifizieren die folgenden Bezeichnungen:

n = D0, a = D120, b = D240

c = s1 (Spiegelung an Seitenhalbierenden)

d = s2

e = s3


Ordnung 7:

Hier gibt es nur eine einzige, abelsche und zyklische Gruppenstruktur. Die könnte man wieder ganz einfach aufschreiben...


Ordnung 8:

Hier gibt es mehrere nicht-isomorphe Gruppenstrukturen. Da werden wir aber nicht darauf eingehen.


Vielleicht hab ihr gemerkt, dass die Zusammenstellung der möglichen Gruppenstrukturen etwas mit der Ordnung zu tun hat. Ist die Ordnung eine Primzahl, so gibt es immer nur eine zyklische Gruppe mit einer Primzahl als Ordung und keine andere Struktur.

Wir haben auch schon zwei Symmetriegruppen kennengelernt, S2 und S3. Solche Gruppenstrukturen spielen in der Elementarteilchenphysik eine große Rolle. Die Gruppentheorie hat letztlich zur Erfindung der Quarks geführt.