Es gibt nur zwei grundlegende Gruppenstrukturen der Ordnung 4. Die zyklische Gruppe haben wir im letzten Post kennengelernt und durch den Vergleich mit Permutationen auch direkt den Zyklus gesehen.
Nun kommen wir zur Kleinschen Vierergruppe, der einzigen nichtzyklischen Gruppe der Ordnung 4:
Wir haben sie einfach so konstruiert:
Als Veranschaulichung betrachten wir die Symmetrieabbildungen eines Rechtecks, das kein Quadrat ist.
Es gibt zwei Drehungen, die das Rechteck in sich überführen (nur die Reihenfolge der Eckpunkte wieder vertauschen):
D0 (es wird nicht oder um 360° gedreht) und D180 (Drehung um 180°).
Dann kann man das Rechteck auch in sich spiegeln:
Die Spiegelung an der langen Spiegelachse kürzen wir mit L ab, die Spiegelung an d er kurzen Achse mit K.
Nun können wir die Verknüpfungstafel wieder umschreiben:
D= = n, D180 = a, K = b, L = c
Die Tafel lässt sich in vier Bereiche einteilen: oben rechts nur K und L, ebenso unten links. Oben links und unten rechts stehen die Drehungen. Das nennt man eine Einteilung in Nebenklassen, eine davon ist sogar eine Gruppe (welche?).
Ich weiß nicht, ob wir dazu noch kommen, aber Nebenklassen sind wichtige Strukturelemente.
Wir wollen aber mal ein bisschen rechnen üben:
Erst einmal wollen wir D180, L und K in Permutationsform angeben. Macht mal...die Abbildung über der Verknüpfungstafel wird euch dabei helfen...
D180:
L:
K:
Führen wir einmal D180 # K aus, also erst D180 und dann K:
A geht auf C und dann (als C) zu D, also kann es auch direkt von A zu D gehen.
B geht auf D und dann (als D) zu C, also kann es auch direkt von A zu C gehen.
Damit ist klar:
D180#K = L
Genau das sagt uns auch die Verknüpfungstafel.
Und anschaulich kann man sich das auch an Drehungen und Spiegelungen klar machen:
Um 180° drehen, dann an der kurzen Achse spiegeln, ergibt eine direkte Spiegelung an der langen Achse.
Zum Schluss zwei Dinge:
Über die Kleinsche Vierer-Gruppe haben wir vier neue Permutationen von vier Elementen gefunden, die eine Gruppe bilden. Zwei von ihnen kommen auch bei der zyklischen Symmetriegruppe vor:
ABCD, das neutrale Element sowie CDAB.
In der zyklischen Gruppe sind es noch DABC und BCDA, jetzt haben wir DCBA und BADC gefunden.
Fehlen noch 18 von den 24...
(Ich hab eben übrigens die Permutationen in der kürzest möglichen Schreibweise hingeschrieben...).
Wir sollten noch die Gruppen mit der Ordnung 1 und 2 klassifizieren, dann haben wir bis zur Ordnung 4 alles erledigt.
Dann würde ich gerne die Permutationen als Symmetriegruppen vorstellen...dann sind wir schon fast in der Elementarteilchenphysik angekommen.