P14: Geometrische Veranschaulichung zyklischer Gruppen der Ordnung 4

Im letzten Post haben wir die Struktur aller Gruppen der Ordnung 3 kennengelernt, egal welche Bedeutung die Elemente haben und wie die Verknüpfung aussieht.

Nun kommen wir zu den Gruppen der Ordnung 4. Da haben wir zwei Strukturen, eine zyklische Gruppe und die Kleinsche Vierergruppe als nichtzyklische Gruppe.


Veranschaulichung der zyklischen Gruppe der Ordnung 4:

Hier die Verknüpfungstafel wie wir sie schon kennen:


Als Beispiel nehmen wir jetzt die Symmetriegruppe eines Quadrates unter Drehungen (um den Mittelpunkt). Nur Drehungen um 0° (=360°), 90°, 180° und 270° führen die Form in sich über, vertauschen nur die Eckpunkte. Das kennen wir ja schon vom gleichschenkligen Dreieck.

Wir ersetzen: n = D0 (Drehung um 0° oder 360° oder 720° usw)

a = D90 (Drehung um 90° oder 450° usw)

b = D180 (Drehung um 180° oder 540° usw)

c = D270 (Drehung um 270°, 630° usw)


Die Verknüpfungstafel sieht da so aus:


Wir erkennen, dass eine Gruppe vorliegt und auch dass es eine zyklische Gruppe ist.



Trotzdem:

Rechnet mal ein bisschen in dieser Gruppe!

Was ergibt D90 # D270 ? (D360 = D0)

Welche Lösung hat die Gleichung D180 # x = D0? Wir hätten auch nach dem Inversen zu D180 fragen können. Die Antwort ist D180, es ist zu sich selbst invers.

Ihr solltet diese Aufgaben durch Ablesen aus der Verknüpungstafel lösen und sie euch dann mit den Drehungen veranschaulichen.



Wir können die Drehungen auch wieder mit Permutationen darstellen. Versucht es erst einmal selbst!

D0: A B C D D90: A B C D D180: A B C D D270: A B C D A B C D D A B C C D A B B C D A

Hier sieht man den Permutationen direkt an, dass eine zyklische Gruppe vorliegt!

Auch hier gilt wieder:

Die vier Elemente A, B, C,D kann man auf 4! = 4*3*2*1 = 24 verschiedene Arten permutieren. Welche Bedeutung haben die anderen Permutationen? Bilden auch sie eine Gruppe?

Auch da könnt ihr drüber nachdenken... Wir kommen bald darauf.