Bevor wir zum letzten großen Bereich in diesem Workshop kommen, den Abbildungsgruppen, noch die ein oder andere nützliche Erweiterung.
Ich habe mich allerdings entschlossen, auf die Einteilung der Gruppen in Nebenklassen nicht näher einzugehen.
Nur hier der Hinweis: Eine Nebenklasse enthält alle Elemente, die man durch Verküpfung eines Elementes mit allen Elementen einer Untergruppe erhält.
Definition einer Untergruppe
Eine Teilmenge U von G heißt bezüglich der gleichen Verknüpfung # eine Untergruppe, wenn (U,#) eine Gruppe ist.
Zum Beispiel ist die Menge der geraden ganzen Zahlen bezügl. der Addition eine Untergruppe von (Z,+). Das hängt daran, dass die Summe zweier gerade Zahlen wieder eine gerade Zahl ist.
Was kann man über die Struktur der ungeraden ganzen Zahlen bezügl + aussagen?
Ebenso ist (Q,+) eine Untergruppe von (R,+), denn jede Rechnung mit rationalen Zahlen gibt es auch für reelle Zahlen.
Es versteht sich von selbst, dass alle Untergruppen das gleiche neutrale Element wie die Gruppe haben.
Für endliche Gruppen ist es auch unmittelbar einsichtig, dass die Anzahl der Elemente einer Untergruppe Teiler der Elementanzahl der Gruppe ist.
Dies ist der Satz von Lagrange:
Die Ordnung einer Untergruppe ist stets Teiler der Gruppenordnung.
Der formale Beweis erfordert den Einsatz von Nebenklassen, das schenken wir uns hier.
Konkret bedeutet das:
Die einzige Untergruppe einer Gruppe mit 3 Elementen kann nur die Gruppe selbst sein und die Gruppe, die nur das neutrale Element enthält. Eine Gruppe mit 3 Elementen hat keine Untergruppe mit 2 Elementen, da 2 kein Teiler von 3 ist.
Dagegen müsste eine Gruppe 6 mit 6 Elementen außer den trivialen Untergruppen ({n},#) und (G,#) Untergruppen mit 2 und 3 Elementen haben können, aber keine mit 4 oder 5.
Es gibt ja nur zwei verschiedene Gruppenstrukturen mit der Ordnung 6. Die haben wir in Post 16 kennengelernt.
An den Verknüpfungstafeln könnt ihr ja mal versuchen, alle Untergruppen aufzuschreiben.
Als Beispiel:
Bei der zyklischen Gruppe ist ({n,a},#) eine Untergruppe.
Bei der nichtzyklischen Gruppe ist z.B. ({n,a,b},#) eine Untergruppe.
Hilfe: Es reicht aus, die Abgeschlossenheit der Verknüpfung zu überprüfen. (Wenn ich n,a,b untereinander verknüpfe, darf nur n,a,b herauskommen. Alle anderen Regeln sind durch die Gruppenstruktur automatisch erfüllt.)
Könnt ihr die folgende Regel mit dem erläutern (nicht beweisen), was wir bisher behandelt haben?
Die Ordnung eines Gruppenelementes ist stets Teiler der Gruppenordnung.