Mit Pfeil und Bogen

Updated: May 26

Mit Pfeil und Bogen


Der Schulstoff: Kraftpfeile

Vektoren spielen sicher im Algebra Unterricht in der Mathematik in der Oberstufe eine große Rolle. Aber in Physik nutzt man sie schon sehr früh beim Einführen des Kraftbegriffes in der Mittelstufe:

Kräfte besitzen eine Wirkungsrichtung, einen Angriffspunkt und haben eine bestimmte Stärke. Das kann man am besten als Pfeil darstellen. Die Addition von Kräften wird dann sehr leicht durch Pfeiladditionen veranschaulicht, alle kennen das Kräfteparallelogramm.






aus Physiklibre


Zusatzfutter: Vektor als Tensor

Googelt man mal unter dem Begriff Vektor, so findet man Worte wie „Pseudovektor“, Vektor als Tensor, Skalare als eindimensionale Vektoren, Matrizen als mehrdimensionale Vektoren usw…

Das alles spielt im Schulunterricht kaum eine Rolle (obwohl man Matrizen isoliert und ohne weitere Bezüge oft in Mathematik kennenlernt).

Ich kann hier nur einige Hinweise geben, damit man sieht in welche übergeordnete Begriffsbildung das alles eingeordnet ist und letztlich, wie falsch man das in der Schule anwendet.



Der zentrale Begriff ist der eines Tensors. Tensoren sind Größen, die Eigenschaften der Natur beschreiben, dabei aber vollkommen unabhängig davon sind, welches Koordinatensystem man auswählt.

Nehmen wir einen unförmigen Körper, der sich drehen soll.

Je nachdem, um welche Achse man die Drehung ausübt, hat der Körper einen bestimmten „Widerstand“ gegen das Andrehen. Das nennt man Trägheit, hier das Trägheitsmoment. Die Trägheitsmomente um mögliche Drehachsen sind Eigenschaften des Körpers, die ihm innewohnen und logischerweise nichts damit zu tun haben dürfen in welchem Koordinatensystem ein Mathematiker das Ganze mathematisch beschreibt.

Deswegen ordnet man dem Körper einen Trägheitstensor zu. Das ist ein Zahlenschema, das die Trägheitswirkungen bei bestimmten Rotationsachsen angibt.

Welche Zahlen im Trägheitstensor stehen, hängt vom gewählten Koordinatensystem ab, die physikalische Wirkung, also der Trägheitstensor ist aber immer der gleiche.

Das hört sich jetzt alles seltsam an…aber Physik ist letztlich nichts anderes als die Beschreibung der Natur mit Tensoren, also mit Zahlensystemen, deren Wirkung nicht von der Wahl des Koordinatensystems abhängt.

Das ist sinnvoll…denn die Physik soll ja Objekte der Natur an sich beschreiben und nicht die Art, wie wir Objekte unter bestimmten Bezugssystemen mathematisch angeben.

Einsteins Aufstellen der Allgemeinen Relativitätstheorie war letztlich nichts anderes als das Suchen nach geeigneten Tensoren.

Ein Trägheitstensor ist nun ein 3x3-Zahlensystem, denn es gibt drei Richtungen, die beliebig kombiniert werden können. Welche Zahlen genommen werden, hängt vom Koordinatensystem ab, aber die gesamte Eigenschaft, eben der Tensor, ist davon unabhängig. Er ist ein Teil der Natur.

Wählt man die Symmetrieachsen als Koordinatensystem (rechts), so sind alle Einträge im Tensor 0, außer in der Diagonalen. Das sind die Hauptträgheitsmomente, die ein trudelfreies Rotieren um die Hauptträgheitsachsen x, y und z beschreiben. Lässt man den Körper um eine „schief“ laufende x-Achse drehen, so kommt er ins Trudeln. Die 0-Werte im Trägheitstensor verschwinden (links).


Ein Vektor im Raum ist ein Tensor 1. Stufe, er wird durch senkrecht angeordnete Zahlen beschrieben: also als Spaltenvektor.

Ein Skalar ist ein Tensor 0. Stufe, eben eine einzelne Zahl.

Eine Matrix ist ein Tensor 2. Stufe.

Achtung: Nicht jede Zahl, nicht jeder Vektor und nicht jede Matrix sind Tensoren. Nur dann, wenn sie unveränderte, vom Koordinatensystem unabhängige, Eigenschaften der Natur beschreiben.

In der Schulphysik sind alle Vektoren, die man verwendet, Tensoren.



Viele Schüler/innen lernen, wie man Matrizen multipliziert. Nun sind Vektoren auch Matrizen…wendet man die Matrizenmultiplikation auf Vektoren an, so entsteht wieder ein Vektor und kein Skalar…irgendetwas mit dem Begriff Skalarprodukt von Vektoren stimmt nicht.

aus wikipedia

Beim Skalarprodukt soll ein Skalar, also ein Tensor 0. Stufe herauskommen.

Das heißt: Koordinatensysteme dürfen keinen Einfluss auf die Zahl des Ergebnisses haben.

Deswegen müssen Skalarprodukte wie folgt definiert werden:




Ergänzung: x² - c²*t² als Raum-Zeit-Abstand ist unabhängig vom gewählten Bezugssystem. Konkret heißt das: unabhängig von der Bewegung des Beobachters. Wenn man hier weiterdenkt, kann man Zeitdilatation und Längenkontraktion, also bekannte Aussagen, der speziellen Relativitätstheorie begründen.