Das echte Wasserstoff-Atom

Der Schulstoff:


Die Krönung allen Physikunterrichtes ist das Bohrsche Atommodell.

In einem Leistungskurs wird durchaus mit den Potenzialen des elektrischen Feldes gerechnet und man kann dann über potenzielle und kinetische Energie die Gesamtenergie des Wasserstoffatoms bestimmen und damit die berühmte Balmerformel herleiten (mit dem Viralsatz geht es einfacher...)

Schon Bohr wusste, dass das alles so nicht perfekt ist.

Sein Modell passt nur auf das Wasserstoffatom (und alle wasserstoffähnliche Ionen), es ist also kein allgemeingültiges Atommodell.

Und wenn man dann mit Hifle der Quantenmechanik die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten des Elektrons bestimmt, merkt man, dass auf keiner der "Bohrschen Bahnen" die Aufenthaltswahrscheinlichkeit besonders hoch ist...Das Elektron ist eher selten, da wo es Bohr berechnen kann.

Und noch etwas passt nicht so ganz: Im Bohrschen Modell des Wasserstoffatoms ist die Quantelung des Bahndrehimpulses notwendig. Das ist in Ordnung, aber häufig wird das als Bedingung für das Ausbilden einer stehenden Welle auf der Bahn interpretiert:



Stehende Elektronenwellen auf Bahnen, die es nicht geben kann... da verstrickt man sich schnell in Interpretationen.


Das Extrafutter


Wie ist ein besseres Modell des Wasserstoffatoms aufgebaut?

Das kann man in der Schule nicht rechnerisch nachvollziehen, aber die einzelnen Ideen kann man verstehen.


Massenkorrektur

Was liegt vor?

Zwei punktförmige Objekte mit den Massen m und M und entgegengesetzten Ladungen.

Das können sein:

Proton und Elektron:

Das Proton ist zwar 1836-mal massereicher als das Elektron, aber beide Objekte bewegen sich um einen gemeinsamen Schwerpunkt. Man muss die sog. reduzierte Masse Mred einsetzen, um das in gewohnter Weise als ein Ein-Teilchenproblem zu behandeln.

Das Verfahren ist aus der normalen klassischen Mechanik hinreichend bekannt.

Mred = (m*M)/(m+M).

Die reduzierte Masse ist das Produkt der beidne Massen geteilt durch die Summe der beiden Massen.

Das leiten wir hier nicht her.

Für M = 1836*m (Vergleich Proton/Elektron) erhält man ungefähr Mred = m, aber wenn man die Energieniveaus genau berechnen will, muss man die Masse des Protons berücksichtigen.


Elektron und Positron:

Auch für das sog. Positronium gilt unser Modell. Da beide Objekte die Masse m haben, gilt Mred = m²/(2m) = 1/2*m.



Man muss also mit der halben Elektronenmasse rechnen. Dies führt zu einer deutlichen Änderung der Energieniveaus.


Wasserstoffähnliche Ionen:

Hier ist die Kernmasse deutlich höher als die des Elektrons (man kommt leicht auf einen Faktor 100 000). Mit hoher Genauigkeit erhält man schon alle Energieniveaus, wenn man nur die Elektronenmasse berücksichtigt.


Also: Das Bohrsche Wasserstoff-Schulmodell gilt eigentlich nur für sehr massereiche wasserstoffähnliche Ionen, eher weniger für Wasserstoff.

Effektives Potenzial

Und nun müssen wir noch den Bahndrehimpuls des Elektrons berücksichtigen. Der führt zu einer Änderung der potenziellen Energie. In der Mechanik ist es üblich die effektive potenzielle Energie Veff einzuführen.


Veff = - k*Z*e²/r + 1/(2*Mred*r²) * h(2*Pi) * l*(l+1)


Der erste Summand ist das normale elektrische Potenzial, der zweite das Zusatzpotenzial durch den Drehimpuls (l ist die Quantenzahl, die die Zustände s,p,d,f.-..beschreibt).


Und jetzt sieht der Potenzialtopf ganz anders aus:


aus J.Pade Quantenmechanics for Pedestrians 2


l=0: Man erhält den bekannten Potenzialverlauf des elektrischen Feldes

l > 0: Es gibt Innen immer einen abstoßenden Bereich (Kurve über Veff = 0) und danach Außen einen anziehenden Bereich.

Das Elektron ist also in einem "Ring" gefangen. Je höher der Drehimpuls, desto flacher verläuft das Potenzial dort und desto schwächer ist das Elektron gebunden.


Lösen der Schrödinger Gleichung

Nun muss man die Schrödinger Gleichung mit diesem Potenzial lösen.

Das ersparen wir uns...Man stößt dabei auf spezielle Funktionen, sogenannte Laguerre-Polynome.

Wie der Name schon sagt, bestehen sie aus vielen Summanden.

Nur für ganz wenige Energien gibt es endlich viele Summanden, meistens sind unendliche viele Summanden nötig.

Das ist die Bedingung für die Energieniveaus:

Nur solche Energieniveaus kommen vor (stationäre Zustände), für die sich die Schrödinger Gleichung durch eine Summe aus endlich vielen Summanden lösen lässt.


Adè...du stehende Welle

Da ist nirgends eine stehende Welle...Deshalb passen ja die Bohrschen Bahnen nicht zum echten Modell...

Das Abbrechen unendlicher Reihen entscheidet über die möglichen Energiezustände eines Atoms.


Wer immer Probleme hatte, zu akzeptieren, dass man ein Elektron als Welle betrachten muss, kann sich jetzt zurücklehnen...

Wir brauchen keine stehenden Wellen...und die Schrödinger Gleichung ist eigentlich auch keine Wellengleichung...

Aber das wäre jetzt zuviel Futter auf einmal...



März 2021

Wird eine dritte Welle kommen?

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