1. Einführung
Gleichungen sollte jede/r kenne, der/die sich in einen solchen Blog verirrt...
Eine Gleichung
5= 3*x +7 ist eine Gleichung, durch die die Zahl x (die wir Unbekannte oder Variable nennen) bestimmt ist.
Wir haben Lösungsverfahren gelernt:
5 = 3x+7 | -7
-2 = 3x | :3
-2/3 = x
Aus denen erhalten wir oft recht schnell die Lösung. Hier ist es die Zahl x = -2/3.
In vielen Fällen sind diese Lösungen auch eindeutig bestimmt, d.h. es gibt nur die eine, die das Verfahren ergibt.
Wir hätten die Lösung auch erraten können und unsere Idee durch Einsetzen überprüfen können:
Wir raten x = 2
Einsetzen ergibt 3*2 + 7 = 13
Das ist nicht gleich der Zahl 5, also kann 2 keine Lösung sein...
Das Erraten kann durchaus sehr langwierig sein, deshalb ist es gut, dass es Umformungsverfahren gib.
Was ist eine Differenzialgleichung?
Differenzialgleichungen sind nun auch Gleichungen, aber nicht für Zahlen, sondern für Funktionen.
Wir wollen die unbekannte Funktion y(x) nennen.
Beispiel:
Das einzige, was wir von ihr hier als Beispiel wissen, ist, dass ihre Steigung immer doppelt so groß wie der Funktionswert sein soll: y`(x) = 2*y(x) soll also gelten, kurz y` = 2y
Diese Gleichung bestimmt also die Funktion y(x).
Die Steigungsfunktion y`(x) nennt man auch die erste Ableitungsfunktion. Sie gibt zu jeder Stelle die Steigung der Funktion y(x) an.
Beispiel: Die Cosinus - Funktion ist die Steigungsfunktion zur Sinus- Funktion.
Man zeichne sich die beiden Funktionen mal hin, dann wird das schnell klar.
Zu y(x) = x² ist y`(x) = 2*x die Steigungsfunktion:
Am Punkt (0,0) liegt die Steigung 0 vor,
an (2,4) die Steigung 4, an (3,9) die Steigung 6....
Es ist üblich, y`(x) auch als Differenzialquotient dy/dx zu schreiben:
dy(x)/dx = 2 * y(x) oder kürzer dy/dx = 2y
Man liest den Bruchstrich in dy/dx auch als "nach", es ist aber ein normaler Bruchstrich!
Was die Differenziale dy und dx sind, werden wir noch lernen.
Jetzt ist aber auch klar, dass die Gleichung y`(x) = 2*y(x) bzw. dy/dx = 2y eine Gleichung mit Differenzialen ist, also eine Differenzialgleichung.
Und darum geht es in diesem Blog.
Solche Differenzialgleichungen haben auch keine Zahlen als Lösungen, sondern Funktionen.
In recht wenigen Fällen kann man Lösungsverfahren anwenden, um diese Funktionen zu bestimmen. Ganz häufig ist es aber üblich, die Lösungsfunktion zu erraten und dann zu zeigen, dass man beim Raten die richtige Eingebung hatte....
Wir werden beides kennenlernen.
Übrigens, die Lösungsfunktion zu unserem Beispiel ist y(x) = exp(2x) ("e hoch 2x")...
aber dazu später...
Übrigens: Es gibt noch unendlich viele andere Lösungsfunktionen zu unerem beispiel.
Kannst Du einige nennen?
Um die für uns passende Lösungsfunktion zu finden, benötigen wir noch Bedingungen:
Anfangsbedingungen legen einen Startwert der Funktion fest.
Randbedingungen legen zwei besondere Werte fest.
Auch darüber bald mehr...
Im nächsten Post müssen wir, sehr zum Leidwesen der Mathelehrer/innen, erst einmal klären, was es mit den Differenzialen dy und dx auf sich hat.
Ihr werdet staunen...