Bervor wir zu Beispielen und Anwendungen kommen, möchte ich noch mal etwas mathematisieren... Satz: In einer Gruppe (G,#) ist das neutrale Element eindeutig bestimmt. Erläuterung: Es muss ein neutrales Element (wie die 0 beim Addieren oder die 1 beim Multiplizieren) geben, sonst wäre es ja keine Gruppe...aber es gibt auch nur eins.... Beweis: Wir nehmen an, die Gruppe (G,#) hat zwei neutrale Elemente n und m. Dann gilt für jedes beliebige Element g der Gruppe: (1) g#g' = g'#

Man kann bestimmte Eigenschaften für eine Menge bezüglich einer vorgegebenen Verknüpfung fordern und andere Eigenschaften der Gruppenstruktur dann beweisen. Wir wollen in unserer Gruppe Gleichungen lösen können: In (Z,+) geht das gut: a + x = b erfordert, dass ich nach x auflösen kann. Ich muss also die Addition mit a aufheben können. Es muss also für jede Zahl eine andere geben, die ihre Wirkung bezüglich der Addition aufhebt. Klar, das ist (-a): (-a) + a + x = (-a) + b ergi